三角形四心定义与性质

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三角形“四心”定义与性质

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。 一、三角形的外心

定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。 性 质：

1.外心到三顶点等距，即OAOBOC。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即ODBC,OEAC,OFAB. 3.A

111

BOC,BAOC,CAOB。 222

二、三角形的内心

定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质： 性 质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝

1

三角形的周长内切圆的半径． 2

3.AEAF,BFBD,CDCE；

AEBFCD三角形的周长的一半。

4.BIC90



111

A,CIA90B，AIB90C。 222

三、三角形的垂心

定 义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。 性 质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AHBC,BHAC,CHAB。 2.△ABH的垂心为C，△BHC的 垂心为A，△ACH的垂心为B。


四、三角形的“重心”：

定 义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。 性 质：

1.顶点与重心G的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。 即GA2GD,GB2GE,GC2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即xG

xAxBxCyyByC

. ,yGA

33

4.向量性质：（1）GAGBGC0； （2）PG5.SBGCSCGA

1

(PAPBPC)，31

SAGBSABC。

3

五、三角形“四心”的向量形式：

结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OAOBOBOCOCOA， 则点O为ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足OABCOBCAOCAB， 则点O为ABC的垂心。

结论3：若点G满足GAGBGC0，则点G为ABC的重心。 结论4：若点G为ABC所在的平面内一点，满足OG 则点G为ABC的重心。

结论5：若点I为ABC所在的平面内一点，并且满足aIAbIBcIC0 （其中a,b,c为三角形的三边），则点I为△ABC的内心。 结论6：若点O为ABC所在的平面内一点，满足

2

2

2

2

2

2

1

(OAOBOC)， 3

(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC，则点O为ABC的外心。

结论7：设0,，则向量AP(

AB

|AB||AC|



AC

)，则动点P的轨迹过ABC的内心。

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