最新几何五大模型

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一、等积变换模型



⑴等底等高的两个三角形面积相等；

五大模型



其它常见的面积相等的情况





⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。



S1S2

如上图S1:S2a:b





⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下列图S△ACD=S△BCD；

反之，如果S△ACDS△BCD，那么可知直线AB平行于CD。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑸三角形面积等于及它等底等高的平行四边形面积的一半；





二、鸟头定理〔共角定理〕模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点(如图1)或D在BA的延长线上，E在AC上(如图2)，那么S△ABC:S△ADE(ABAC):(ADAE)


图1 图2

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理〞)：



①S1:S2S4:S3或者S1S3S2S4②AO:OCS1S2:S4S3





蝴蝶定理为我们提供了解决不规那么四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规那么四边形的面积关系及四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到及面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理〞)



①S1:S3a2:b2

②S1:S3:S2:S4a2:b2:ab:ab； ③梯形S的对应份数为ab。

2




四、相似模型



相似三角形性质：

金字塔模型 沙漏模型 ①



ADAEDEAF

； 

ABACBCAG

②S△ADE:S△ABCAF2:AG2。

所谓的相似三角形，就是形状一样，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不管大小怎样改变它们都相似)，及相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。



五、燕尾定理模型



S△ABG:S△AGCS△BGE:S△EGCBE:EC S△BGA:S△BGCS△AGF:S△FGCAF:FC S△AGC:S△BCGS△ADG:S△DGBAD:DB

典型例题精讲

例1 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的倍，黄色三角形的面积是21

平方厘米。问：长方形的面积是__________平方厘米。

例1图

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