南京农业大学考研真题—数学分析2005

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试题编号：328 试题名称：数学分析

注意：答题一律答在答题纸上，答在草稿纸或试卷上一律无效

一．计算题（每小题8分，共72分）

xxx

1． lim；

x1lnxx1

2． lim[(1

n

1

1n

)(1)(1)]

2n

nn

1n

；

3． 求和



n212

n

；

xdyydxx2

y21 以逆时针方向为正方向； 4． 22，其中:

xy4

z2z5． 试以{ 为新自变量，变换方程x2y0； vy/xx2y2

6．

uxy

22







0

arctanbxarctanax

dx,(ba0)；

x

7.





1

xyz2dxdy,其中为曲面 zx2y2 与平面 z1 所围立体的表面外侧；

dx



x2y2(xy)

2

22

8.

1

dy；

9. 计算

xdV，其中为以 O(0,0,0),A(R,0,0) 为球心，R为半径的球体的公共部分；



二.（10分）设

{an}

是严格递降的正数列，且

liman0，证明：级数

n

(1)n1

1



a1a2an

收敛。

n

nxne的收敛域。又问：该级数在收敛域内是否一致收敛？是否连n1

三.（12分）试确定级数

续？是否可微？证明你的结论。

四.（18分）1.设函数f(x)在区间[0,1]上有连续的导数，

f(0)0,f(1)1，证明：




1

0

f(x)f(x)dx



2

1； e

n

limsinxdx0； 2. 证明：

n0

3. 证明：p1,

1



1(n1)n

p

p；

五.（10分）举例说明连续函数f(x)使 证明：当f(x)在[a,)上单调且六.（8分）设x0，给出使关系式再改进）

七. （10分）设p0为常数，试问I何？





a

f(x)dx收敛，但未必有limf(x)0.

x



a

f(x)dx收敛时有limf(x)0.

x

A

lnxBx2成立的最佳的A和B值.（最佳意指不能2x





1

ex

cosx

dx关于参数在[0,)上一致收敛性如xp

八. （10分）试叙述聚点定理与有限覆盖定理，并用前者证明后者。

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