高中数学例题：圆系问题

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高中数学例题：圆系问题

例7．求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x―4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1）过原点；（2）有最小面积． 【思路点拨】设出圆系方程，然后再根据题目条件确定圆的方程。

3171364

【答案】（1）x2y2xy0 （2） xy 24555

2

2

【解析】 设所求圆的方程为x2+y2+2x―4y+1+(2x+y+4)=0，即x2+y2+2(1+)x+(―4)y+(1+4)=0． ①

（1）因为所求的圆过原点，所以1+4=0，． 故所求圆的方程为x2y2x

3

2

17

y0． 4

14

（2）当半径最小时，圆面积也最小．把方程①化为标准形式，

4584

得[x(1)]2y． 2455

258584

r所以当时，r2取得最小值，即，故满min55455

2

2

2

足条件（2）的圆的方程为

6413

xy． 555

2

2

【点评 】 本题的一般解题思路是先求出直线与圆的交点的坐标A（x1，y1）、B（x2，y2），所求圆过两个点，再利用第三个独立条件和圆的一般方程即可求解．本题用了一个典型解法：设直线l：Ax+By+C=0与圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则方程x2+y2+Dx+Ex+F+(Ax+By+C)=0表示过直线l与圆的交点的圆系方程． 举一反三：



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【变式1】求过两圆x2+y2+6x―4=0和x2+y2+6y―28=0的交点，且圆心在直线x―y―4=0上的圆的方程．

【答案】x2+y2―x+7y―32=0 【解析】设所求的圆的方程为 x2+y2+6x―4+(x2+y2+6y―28)=0， 即x2y2

66428xy0． 111

∵圆心为∴

33

,，且在直线x―y―4=0上， 11

33

407． 11

故所求的圆的方程为x2+y2―x+7y―32=0．

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