求函数解析式的几种常用方法

【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《求函数解析式的几种常用方法》，欢迎阅读！



河北

杨新兰

解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，与所选取的字母无关，是函数与自变量之间建立联系的桥梁．由已知条件求函数的解析式，是函数这部分内容的一个基本问题，它不仅能深化函数概念，还常常联系着一些重要解题思维方法和技巧，也是高考常考的题型之一．因此，对这个问题进行探讨是很有必要的．本文介绍几种求函数解析式的常用方法，供同学们学习时参考．

一、换元法

如果已知复合函数f[g(x)]的表达式时，常用换元法求出函数f(x)的解析式．其解题基本思路是：先令g(x) = t，从中求出x，再代入f[g(x)]中即得f( x)的解析式．

11

例1 已知f(x +) = x2+2，求函数f(x)的解析式．

xx1111

解：t = x +，又x2+2= (x +)2－2，且| x +|≥2，即| t |≥2．

xxxx

∴f( t) = t2－2 (| t |≥2)，即f( x) = x2－2 (| x |≥2)．

评注：在用换元法解题时，一定要注意定义域的变化，注意前边的x与后边的x的区别与联系．所求的函数关系要注明定义域．

二、特殊值法

当所给函数含有两个不同的变量时，常用特殊值代入法求f(x)的解析式，其解题基本思路是：令变量取某些特殊值，从而减少未知元，求出f(x)的解析式．

例2 已知f(x)是定义在R上的函数，且f(0) = 1，f( y－x) =f(y)－xe3xy ，求函数f(x)的解析式．

解：取x = y，则由已知等式，有f(0) =f(x)－xe4x， ∵f(0) = 1，∴f(x) = 1 + xe4x． 三、构建方程法


f(x)的解析

式．

1

例3 设f(x)满足2xf(x)－3f() = x2+ 1 ①，求函数f(x) 的解析式．

x

11111解：用替换①式中的x，得2f()－3f(x) =2+ 1，即2f()－3xf(x)

xxxxx

1

=+ x ②， x

13223

①、②两个方程联立，消去f()得：f(x) =－－x－－2．

x555x5x

四、待定系数法

如果已知函数解析式的结构时，常用待定系数法求f( x)的解析式，其解题基本思路是：先设出f( x)的一般表达式，再根据已知条件确定出表达式中的参数即得f( x)的解析式．

例4 设f(x)是x的二次函数，g(x) = 2x·f(x)，且g(x + 1)－g(x) = 2x1·x2，求函数f(x)和g(x)的解析式．

解：设f(x) = ax2+ bx + c (a≠0)，则g(x) = 2x·(ax2+ bx + c)． 由g(x + 1)－g(x) = 2x1·x2得：

2x1·[a (x + 1)2+ b(x + 1) + c]－2x·(ax2+ bx + c) = 2x1·x2，

即ax2+ (4a + b)x + (2a + 2b + c) = 2x2．这是关于x的恒等式，比较系数，得

a2,



4ab0, 2a2bc0.

a2,

b8, c12.

∴f(x) = 2x2－8x + 12 ，g(x) = 2x1·(x2－4x + 6)．

本文来源：https://www.wddqxz.cn/93bdee5859cfa1c7aa00b52acfc789eb162d9e4a.html