初中数学竞赛中常用重要定理

2022-03-21 08:10:21   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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数学竞赛中几个重要定理

1 梅涅劳斯定理:如果在△ABC的三边BCCAAB或其延长线上有点D EFDEF三点共线,则

BDCEAF

DCEAFB

=1



2 梅涅劳斯定理的逆定理:如果在△ABC的三边BCCAAB或其延长线上

有点DEF,且满足

BDCEAF

DCEAFB

=1,则DEF三点共线。

3 塞瓦定理:设O是△ABC内任意一点,AOBOCO分别交对边于NP

M,则



4 塞瓦定理的逆定理:设MNP分别在△ABC ABBCCA上,且满足

AMBNCP

1,则ANBPCM相交于一MBNCPA

AMBNCP

1 MBNCPA

点。

5 广勾股定理的两个推论

推论1:平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。

推论2:设△ABC三边长分别为abc,对应边上中线长分别为mamc

则:ma=

112b22c2a2mb=2a22c2b222



mb



mc=

1

2a22b2c2 2

6 三角形内、外角平分线定理

内角平分线定理:如图:如果∠1=2,则有

外角平分线定理:如图,AD是△ABC中∠A的外角平分线交BC的延长线与D 则有

BDAB



DCAC

BDAB

DCAC


7 托勒密定理:四边形ABCD是圆内接四边形,则有AB·CD+AD·BC=AC·BD

8 三角形位似心定理:如图,若△ABC与△DEF位似,则通过对应点的三直线

ADBECF共点于P 9 正弦定理、在△ABC中有

abc

2RR为△ABC外接圆半径) sinAsinBsinC

余弦定理abc为△ABC的边,则有:

a2=b2+c2-2bc·cosA; b2=a2+c2-2ac·cosB; c2=a2+b2-2ab·cosC;

10、西姆松定理:点P是△ABC外接圆周上任意一点,PDBCPEAC PFABDEF为垂足,则DEF三点共线,此直线称为西姆松线。

11、欧拉定理:△ABC的外接圆圆心为O,半径为R,内切圆圆心为I,半径为r,

OI=d,则有:d2=R2-2Rr.

12 巴斯加线定理:圆内接六边形ABCDEF(不论其六顶点排列次序如何), 其三组对边ABDEBCEFCDFA的交点PQR共线。


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