初中数学竞赛中常用重要定理

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数学竞赛中几个重要定理

1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、 E、F且D、E、F三点共线，则

BDCEAF

••DCEAFB

=1



2、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上

有点D、E、F，且满足

BDCEAF

••DCEAFB

=1，则D、E、F三点共线。

3、 塞瓦定理：设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、

M，则



4、 塞瓦定理的逆定理：设M、N、P分别在△ABC的 边AB、BC、CA上，且满足

AMBNCP

••1，则AN、BP、CM相交于一MBNCPA

AMBNCP

••1 MBNCPA

点。

5、 广勾股定理的两个推论：

推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。

推论2：设△ABC三边长分别为a、b、c，对应边上中线长分别为mamc

则：ma=

112b22c2a2；mb=2a22c2b222

、

mb

、

；mc=

1

2a22b2c2 2

6、 三角形内、外角平分线定理：

内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有

外角平分线定理：如图，AD是△ABC中∠A的外角平分线交BC的延长线与D， 则有

BDAB



DCAC

BDAB

 DCAC


7、 托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则有AB·CD+AD·BC=AC·BD

8、 三角形位似心定理：如图，若△ABC与△DEF位似，则通过对应点的三直线

AD、BE、CF共点于P 9、 正弦定理、在△ABC中有

abc

2R（R为△ABC外接圆半径） sinAsinBsinC

余弦定理：a、b、c为△ABC的边，则有：

a2=b2+c2-2bc·cosA; b2=a2+c2-2ac·cosB; c2=a2+b2-2ab·cosC;

10、西姆松定理：点P是△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥AC， PF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，此直线称为西姆松线。

11、欧拉定理：△ABC的外接圆圆心为O，半径为R，内切圆圆心为I，半径为r,

记OI=d,则有：d2=R2-2Rr.

12、 巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF（不论其六顶点排列次序如何）， 其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点P、Q、R共线。

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