2016年北京大学数学科学夏令营初赛试题及解答

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2016年北京大学数学科学夏令营初赛试题

本试卷共4题，每题30分，满分120分，考试时间180分钟．

0

1、已知锐角△ABC中，∠B=60，P为AB中点，Q为外接圆上弧AC(不包含点B)的中点，H为△ABC的垂心．如果P,H,Q三点共线，求∠A．

2、求所有的整系数多项式P(x)，使得存在一个无穷项整数数列{an}，其中任意两项互不相等，且满足：P(a1)=0，P(ak+1)=ak (k=1,2,⋯)．

3、给定正整数n，有2n张纸牌叠成一堆，从上到下依次编号为1到2n．我们进行这样的操作：每次将所有从上往下数偶数位置的牌抽出来，保持顺序放在牌堆下方．例如n=3时，初始顺序为123456，操作后依次得到135246，154326，142536，123456．

证明：对任意正整数n，操作不超过2n−2次后，这堆牌的顺序会变回初始状态．

4、给定正整数p,q，数列{an}满足：a1=a2=1，an+2=pan+1+qan (n=1,2,3⋯)．求证：要使得对任意正整数m,n，均有(am,an)=a(m,n)，当且仅当p=1时成立．

2016年北京大学数学科学夏令营初赛试题

参考答案

1、答案 75．

解 如图，设O为外接圆圆心，延长CO交外接圆于D，则四边形BHAD为平行四边形，因此D,P,H三点共线，进而D,P,H,Q四点共线．

0

连接OH,BQ，由∠B=60，于是

BH=AD=CD/2=OQ,

又OB=OQ，因此BHQO为菱形，从而

∠OBC=∠OCB=∠BAD=∠HBA,

又

∠BCD=∠BQD=∠OBQ=∠HBQ,

0

因此BO,BQ,BH将∠CBA四等分，进而不难得知∠A=75． 2、答案 P(x)=x+C，其中C∈Z． 解 设

m

P(x)=λ0+λ1x+⋯+λmx,

其中m∈N∗，λi∈Z (i=0,1,2,⋯,m)，则

P(ak+1)−P(ak+2)=ak−ak+1,k=1,2,⋯,

而

22mm

P(ak+1)−P(ak+2)=λ1(ak+1−ak+2)+λ2(ak+1−ak+2)+⋯+λm(ak+1−ak+2),

因此

(ak+1−ak+2)∣(ak−ak+1),k=1,2,⋯,

因此

∣a1−a2∣⩾∣a2−a3∣⩾∣⋯⋯⩾|ak−ak+1|⩾|ak+1−ak+2|⩾⋯.

由于∣a1−a2∣的值有限，因此必然存在K，使得当k⩾K且k∈Z时，有

∣ak−ak+1∣=∣ak+1−ak+2∣=∣ak+2−ak+3∣=⋯.

由于数列{an}中任意两项互不相等，因此有

ak−ak+1=ak+1−ak+2=ak+2−ak+3=⋯,

因此有

P(ak+1)−ak+1=P(ak+2)−ak+2=⋯.

若m⩾2，则方程

1

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P(x)−x=P(aK+1)−aK+1

有无数个解，矛盾．这样得到了所有符合题意的整系数多项式P(x)=x+C，其中常数C∈Z 3、证明 我们证明一个等价的命题，将每次操作改为先从上往下取后一半的数出来，然后与前一半交叉放置(类似于洗扑克牌)，如初始顺序为123456，操作后依次得到142536，154326，135246，123456．将纸牌按顺时针摆放，使得第一张牌和最后一张牌(它们始终为1和2n)重合，将第一张牌的位置记为1，顺时针旋转将其他牌的位置依次记为2,3,⋯,2n-1．定义纸牌m顺时针旋转到纸牌n时旋转的步数为纸牌m到n的距离，记为d(m→n)，如图中d(2→3)=3．

下面证明经过k次操作(k∈N∗)后

d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n),

用数学归纳法．

归纳基础 当k=1时，有

d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n)=1,

命题成立．

归纳假设与递推证明 设当k=p时，有

d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n)=q.

不难计算得经过操作后位置x的纸牌将会移动到位置

f(x)=(2x−1)%(2n−1),

其中t%s表示t模s的余数，因此原来距离为q的纸牌在操作后距离为(2q)%(2n−1) ．因此经过p+1次操作后，仍然有

d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n).

综上所述，经过k次操作(k∈N∗)后

d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n).

这就意味着当纸牌2的位置确定时，其他所有纸牌的位置都可以依靠该性质确定．而纸牌2至多只有2n−2种可能的位置，并且纸牌2的所在的位置不可能出现不包含位置2的循环．这是因为操作是可以反向的，因此如果出现不包含位置22的循环，那么可以断定最初的状态纸牌2所在的位置不可能为2．因此经过不超过2n−2次操作后，纸牌2必然回到位置2，原命题得证．

4、证明 必要性 根据题意，有

而由(a3,a4)=a1，可得(p,q)=1；又由(a3,a6)=a3，可得

22

p+q∣pq+q,

即

p+q∣pq(p−1)+q(p+q),

因此p=1．

充分性 当p=1时，an+2=an+1+qan，于是

（an+2,q)=(an+1+qan,q)

=(an+1,q)=⋯ =(a1,q)=1,

进而

(an+1,an+2)=(an+1,an+1+qan)

=(an+1,an)=⋯ =(a1,a2)=1.

记a0=0，用数学归纳法可以证明对任意m,n∈N∗，m⩽n，均有

2

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