微分中值定理证明题中构造函数的逆推方法

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大家在做微分中值定理证明题的时候常常会好奇它的构造函数是怎么推出来的，我在这里传授一下存在在微分中值定理证明题中是怎么推出构造函数的。



先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a，b）中存在ε使f’(ε)=f(ε)



证明过程： f’(ε)=f(ε), 所以f’(x)=f(x), 让f(x)=y, 所以

dyydx

,即

1

dydxy

，所以对两边简单积分，即

1

ydy1dx，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个

常数C，但这只是我的经验方法，所以不加）就是lnyx，也就是yex，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把ex除下来，就是

y

1，所以左边就是构造函数，也就ex

是yex，而y就是f(x)，所以构造函数就是f(x)ex，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。



二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证： 在（a，b）中存在ε使f’(ε)+2εf(ε)=0

证：一样的，dy2xy，把x,y移到两边，就是1dy2xdx，

dx

y

所以积分出来就是lnyx2，注意y一定要单独出来，不能带ln，所以就是yex，移出1就是yex

2

2

1,所以构造函数就是






f(x)e

x2

，再用罗尔定理就出来了。



三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a，a）中存在ε使f’(ε) ε+2f(ε)=0.



证：dyx2y0，移项就是1dy21dx，所以lny2lnx，

dx

y

x

所以就是y

1x2

，移项就是yx21，所以构造的函数就是

f(x)x2，再用罗尔定理就可以了。

注：这种方法不是万能的，例如有些题目它的构造函数里面就有一阶导数，或者更复杂的是导数与原函数的乘积，这种方法就无能为力了，不过对于大多数题目还是有用的，这种方法只是在没有感觉的时候给一种参考，并不是万能的。

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