中---向心力

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1如图1所示，一个圆锥形容器的对称轴线沿竖直方向，它以该轴线为轴匀速转动，在圆锥容器光滑的内壁放一小块金属P，它与锥面保持相对静止，则P受到的外力 （ ） A. 共三个，分别是重力、锥面的支持力及下滑力 B. 共两个，分别是重力和锥面的支持力 C. 共三个，分别是重力、锥面的支持力及向心力 D. 共三个，分别是重力、锥面的支持力及离心力

2. 如图2所示，把一个转盘水平放置，在转盘边缘处放一块橡皮，使转盘绕过它中心的竖直轴匀速转动，橡皮也随转盘做匀速圆周运动，在运动过程中 （ ） A. 橡皮受到转盘的静摩擦力，方向指向转轴

B. 橡皮受到转盘的静摩擦力，方向跟橡皮的运动方向相反 C. 橡皮受到转盘的静摩擦力，方向跟橡皮的运动方向相同 D. 橡皮与转盘间没有摩擦力

3.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的 角速度做匀速转动，下列说法正确的是 （ ） A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大B．物体所受弹力增大，摩擦力减小 C．物体所受弹力减小，摩擦力减小 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变

4.如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量是2m，B和C的质量均为m，



A、B离轴为R，C离轴为2R。当圆台旋转时，则 （ ） A．若A、B、C均未滑动，则C的向心加速度最大 B．若A、B、C均未滑动，则B的摩擦力最小 C．当圆台转速增大时，B比A先滑动 D．圆台转速增大时，C比B先滑动

练习：1A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B、C质量均为m，A、B离轴R，C离轴2R，则当圆台旋转时（设A、B、C都没有滑动） （ ）

A B C A. C的向心加速度最大 B. B的静摩擦力最小

C. 当圆台转速增加时，C比A先滑动 D. 当圆台转速增加时，B比A先滑动

2. 在光滑的水平台面上有一固定的小立柱O，依次用两根轻弹簧连接着小球P和Q，如图3所示。已知两球的质量相等，两根轻弹簧的原长和劲度系数都相同。现使两球都绕O轴做匀速圆周运动，且两根弹簧呈一条直线，则 （ ） A. OP＝PQ



B. OP＞PQ C. OP＜PQ





D. OP＝0.5PQ

3. 一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则 （ ） A. A球的角速度必小于B球的角速度 B. A球的线速度必小于B球的线速度 C. A球的运动周期必大于B球的运动周期 D. A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力


4 如图所示，在光滑的水平面上放一个原长为L的轻质弹簧，它的一端固定，另一端系一个小球，当小球在该平面上做半径为2L的匀速圆周运动时，速率为v1；当小球做半径为3L的匀速圆周运动时，速度为v2。设弹簧总处于弹性限度内，则v1:v2等于 （ ） A.

2:3 B. 2:1 C. 1:3 D. 1:3

5．如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动.圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时( )

A.小球对圆环的压力大小等于mg B.小球受到的向心力等于重力mg C.小球的线速度大小等于gR D.小球的向心加速度大小等于g 6. 小球质量为m，用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方

L

处有一钉子P，2

把细线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间，设

线没有断裂，则下列说法正确的是 A.小球的角速度突然增大 B.小球的瞬时速度突然增大 C.小球的向心加速度突然增大 D.小球对悬线的拉力突然增大

7如图所示，竖直放置的光滑圆环，半径R=20cm，在环上套有一个质量为m的小球，若圆环以w=10 rad/s的角速度转动（取g=10m/s），则角θ的大小为 （ ） A．30° B．45° C．60° D．90°



8如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以速度v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车的前、后壁接触，由于某种原因，小车突

2

然停止，此时悬线的拉力之比FB∶FA为（g取10 m/s） A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4

9．一圆盘可以绕其竖直轴在图所示水平面内转动，圆盘半径为R.甲、乙物体质量分别是M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起.若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过（两物体均看作质点） （ ） A.C.

2

(Mm)g/mL B. (Mm)g/ML (Mm)g/ML D.(Mm)g/mL

10. 如图所示，在匀速转动的水平圆盘边缘处放着一个质量为0.1kg的小金属块，圆盘的半径为20cm，金属块和圆盘间的最大静摩擦力为0.2N。为不使金属块从圆盘上掉下来，圆盘转动的最大角速度为____________rad/s。

11. 如图所示，一个水平光滑台面正中的O点处有一个小孔，P、Q为两个质量相等的小球，

用一根轻绳通过小孔相连接，使小球Q绕O点做匀速圆周运动，角速度为，则小球Q离O点的距离为_______ 。






10．质量为M=1000kg的汽车，在半径为R＝25m的水平圆形路面转弯，汽车所受的静摩擦力提供转弯时的向心力，静摩擦力的最大值为重力的0．3倍．为避免汽车发生离心运动酿成事故，试求汽车安全行驶的速度范围．(g取l0m/s2)

11．如图5-9-1所示，转动的转盘上有一个质量为M＝5kg的物体随转盘一起转动，物体所受的最大静摩擦力为20N，物体到转轴的距离为0．2m．试求保证物体随转盘转动而不发生离心运动，转盘转动的角速度的取值范围．

题3、如图所示，细绳一端系着质量

kg的物体，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量

kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中

心轴线转动，问角速度

例1：如图2所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的倍。求：

在什么范围m会处于静止状态？（

）


（1）当转盘的角速度1

g

2r

时，细绳的拉力FT1。

（2）当转盘的角速度2

3g

时，细绳的拉力FT2。 2r

ω

r

O





例2：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图3中的（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。（小球的半径远小于R）。





2. 如图6所示，一把伞伞柄竖直放置，伞的半径为r，在伞的边缘处拴着一根细绳，绳长为l，绳下端拴一个可看做质点的小球P，球的质量为m。现转动伞柄，使它以角速度ω匀速转动，已知小球P随着伞匀速转动时的线速度大小为v，求：

（1）小球所需的向心力多大？是什么力提供的向心力？ （2）小球随伞匀速转动时细绳与竖直方向的夹角多大。





例4. 如图所示，轻杆长1m，其两端各连接质量为1kg的小球，杆可绕距B端0.2m处的轴O在竖直平面内自由转动，轻杆由水平从静止转至竖直方向，A球在最低点时的速度为4m/s。求：（g取10m/s）

2

图6-33


① 此时杆对A小球的作用力大小及方向； ② 此时杆对B小球的作用力大小及方向。



例5：如图7所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两个质量均为m的小球，O点是一光滑水平轴，已知AOl，OB2l，使细杆从水平位置由静止开始转动，当B球转到O点正下方时，它对细杆的拉力大小是多少？



A

O

B





14. （2000年全国高考题）一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动.有一台发出细光束的激光器装在小转台M上，到轨道的距离MN为d＝10 cm，如图4所示. 转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T＝60 s，光束转动方向如图中箭头所示.当光束与MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上.如果再经过Δt＝2.5 s光束又射到小车上，则小车的速度为多少？（结果保留二位数字）





14. 如图6所示，长为L＝1m的轻质木杆，一端固定一个质量m=2kg的小球，以支架上的O点为轴在竖直面内做圆周运动，支架质量M＝5kg，当小球运动到最高点时v＝2m/s，则此时支架对地面的压力为多少？


若要使支架对地面的压力为零，则小球运动到最高点时速度又该为多少？（g取10m/s）





2

绳 杆 模 型

例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球做半径为R的圆

O


周运动，以下说法正确的是 （ ） A．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零 B．球过最高点时，最小速度为

Rg

C．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反

D．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力

例5. 用细绳栓着质量为m的物体，在竖直平面内作圆周运动，下列说法正确的是（如图）（ ） A. 小球过最高点时，绳子张力可以为零 B. 小球过最高点时的最小速度是0

C.小球刚好过最高点时的速度是gR

D. 小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反

1．如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F可能 （ ） A．是拉力 B．是推力 C．等于零

D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零

2．（1999年 全国）如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球

一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ）

A．a处为拉力，b处为拉力 B．a处为拉力，b处为推力 C．a处为推力，b处为拉力 D．a处为推力，b处为推力 7

9、如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下列叙述正确的是 （ ） A、v的极小值为gl

B、v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大

C、当v从gl值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大。 D、当v从gl值逐渐减小时，杆对小球的弹力仍逐渐变大。

a

图6-11-6 · O b 图6-11-5

O


4．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是 （ ） A．0 B．mg C．3mg D．5mg

9．如图6-11-9所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入

圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D，则小球在通过D点后 （ ）

A．一定会落到水平面AE上 B．一定会再次落到圆轨道上 C．可能会落到水平面AE上 D．可能会再次落到圆轨道上

B

图6-11-9

C

D

h A E

3．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg，绳长L = 40cm，求： （１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？ （２）桶在最高点速率v = 3m/s时，水对桶底的压力？

8．如图6-11-8所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端O在竖直平面内作圆周运动，求：

（1）小球在最高点A时速度vA为多大时，才能使杆对小球m的作用力为零？ （2）小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少？

（3）如m = 0.5kg, L = 0.5m, vA= 0.4m/s, 则在最高点A和最低点B时, 杆对小球m的作用力各是多大? 是推力还是拉力?

8．如图所示，小球A质量为m.固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做O 圆周运动.如果小球经过最高位置时，杆对球的作用力为拉力，拉力大小等于球的重力。求： （1）球的速度大小；

图6-11-8 A

vA

（2）当小球经过最低点时速度为6gL，杆对球的作用力大小和球的向心加速度大小。








12、(10分)用长为L的细杆拉着质量为m的小球在竖直平面内作圆周运动，小球运动到最高点时，速率等于2gl,求：杆在最高点所受的力是压力还是拉力？大小是多少？

13、（14分）如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆细管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B，以不同的速率进入管内，若A球通过圆周最高点C，对管壁上部的压力为3mg，B球通过最高点C时，对管壁内侧下部的压力为0.75mg ，求A、B球落地点间的距离．

10．如图6-9-10所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，AB段平直，质量为m的小球以水平初速度v0射入圆管。

（1）若要小球能从C端出来，初速度v0多大？ （2）在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪 几种典型情况，初速度v0各应满足什么条件？

14、（16分）如图所示，一光滑圆锥体固定在水平面上，OC⊥AB，∠AOC＝30°，一条不计质量、长为L的绳(L<OA)一端固定在顶点O，另一端拴一质量为m的物体(看作质点)。物体以速度v绕圆锥体的轴线OC在水平面内作匀速圆周运动。 (1)当v

A

B

图6-11-10

C R

1

gL，(2)当v63

gL时，分别求出绳对物体的拉力。 2




例3：如图5所示，杆长为l，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F

1

mg，求这时小球的瞬时速度大小。 2









例4：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B，质量分别为m1、m2，沿环形管顺时针运动，经过最低点的速度都是

v0，当A球运动到最低点时，B球恰好到最高点，若要此时作用于细管的合力为零，那么m1、m2、R和v0

应满足的关系是 。

B

vFN2m2gFN1

v0

Am1g

FN2

FN1





例题1、一辆质量

t的小轿车，驶过半径

m的一段圆弧形桥面，重力加速度

．求：

（1）若桥面为凹形，汽车以20 m／s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？ （2）若桥面为凸形，汽车以10 m／s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？ （3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？




1. 极值问题

例6：如图8所示，用细绳一端系着的质量为M0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m。若A与转盘间的最大静摩擦力为Ff2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度的取值范围。（取

g10m/s2）

OA

B



图8

解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度。A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成。角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O。

对于B：FTmg

对于A：FTFfMr1，FTFfMr2 联立解得16.5rad/s，22.9rad/s 所以2.9rad/s6.5rad/s 3. 数理问题

例8：如图10，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距l00.1m，长l1m的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动，由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上，若细线能承受的最大拉力FTm7N，则从开始运动到细线断裂的时间为多少？（线速度大小不变）

AB

2

2






解析：小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半径逐渐变小，但小球转动的线速度大小不变。

小球交替地绕A、B做匀速圆周运动，线速度不变，随着转动半径的减小，线中拉力FT不断增大，每转半圈的时间t不断减小。

lmv2

在第一个半圆内FT1，t1

vl

在第二个半圆内FT2

(ll0)mv2

，t2 

vll0

(l2l0)mv2

在第三个半圆内FT3，t3

vl2l0

[l(n1)l0]mv2

在第n个半圆内FTn，tn

vl(n1)l0

令FTnFTm7N，得n8.1，即在第8个半圆内线还未断，n取8，经历的时间为

tt1t2tn





v

nl[123(n1)]l0[nln(n1)l0]8.2s

v

2

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