函数奇偶性的定义及性质

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函数奇偶性的定义及性质

例1 判断并证明下列函数在其定义域上的奇偶性

（1）f(x)(x2

1)

x1

x1

x2,x1（2）f(x)

0,|x|1



x2,x12

（3）f(x)

1x

|x3|3



（4）f(x)

x222x2

例2 （1）已知 f x 是定义在R上的奇函数，且x < 0时，f x = 2 x + 1

x 2

+1．则f x 的表达式为 。

（2）设定义在[2,2]上的偶函数f(x)在区间[0, 2]上单调递减，

f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是_______________

（3）设函数f(x)

x

1|x|

(xR)，区间M＝[a,b](ab), 集合N＝

；.

.

{y|yf(x),xM}，则使M＝N成立的实数对 (a,b)有 个。

（4）f(x)是偶函数，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，若x[12

,1]时，不等式f(ax1)f(x2)恒成立，则实数a的取值范围是__________ 。



课堂练习

一、 基础训练题

1．若定义在区间[3a,5]上的函数f(x)ax3

bx2

3x是奇函数，则

ab_______

2．f(x)、g(x)都在定义在R上的奇函数，且F(x)3f(x)5g(x)2，若

F(a)b，则F(a)＝

3．已知f(x)是偶函数，且在[0,)上为增函数，若f(3x)> f(1)，则x的取值范围是 。

4．偶函数f(x)在[0,]上单调递增，那么f()、f(

2

)、f(2)之间的大

小关系为 。

5．设f(x)是R上的偶函数，在区间(,0)上递增，且有

f(2a2a1)f(3a22a1)，则实数a的取值范围是 。




二、 拓展提高训练题

1．已知yf(x)是偶函数，当x0时，f(x)x

4

x

，当x[3,1]时，记f(x)的最大值为m，最小值为n，则mn＝ 。 2．已知yf(x)是偶函数，且在[0,)上是减函数，则yf(1x2

)是增函数的区间是 .

3．已知f(x)是定义在(,0)(0,)上的奇函数，且x0时，f(x)是增函数，f(1)0，则xf(x)0的解集是 。 4．已知f(x),g(x)都是奇函数，f(x)0的解集是(a2

,b)，g(x)0的解

集是(

a22,b

2

)(b2a2)，则f(x)g(x)0的解集是 。 5．设函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x1f(x1)f(x2)

1x2)f(x)f(x，

21)

求证：f(x)是奇函数。

；.

.

6．函数yf(x)的定义域为D:{x|x0}，且满足对于任意x1,x2D，

有f(x1x2)f(x1)f(x2)。 （Ⅰ）求f(1)的值；

（Ⅱ）判断yf(x)的奇偶性并证明；

（Ⅲ）如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

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