最短距离

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赵老师数学工作室

空间与图形 专题1-2—最短距离问题

一．知识内容 考查知识点：

“两点之间线段最短”，“垂线段”，“点关于直线对称”，“线段的平移”。 原型来源于： “建奶站”，“造桥选址”等问题。 背景变式有：

角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 二．原题呈现： 1.书P123页 问题解决：

如图所示：要在街道旁修建一个奶站，向居民区A,B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A,B到它的距离最短？

居民区B



居民区A

街道

2. 造桥选址问题：

如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

3.升学指导54页例2： 如图：长方体的长宽高分别为6cm，5cm，4cm，现有一只

Ｏ 蜘蛛由A点出发去捕食G处的昆虫，则这只蜘蛛的最短爬行路线是多少厘米？



G

Ｅ

A

第4题图 第3题图

4. 升学指导166页14题（2008年青岛中考第14题）：

如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm．母线

OE(OF)长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂 蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm．

5. 升学指导175页14题（2009年青岛中考第14题）：

长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达

Ａ Ｆ

点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．

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B 6cm

1cm

A 3cm





第6题图 第5题图

6. 升学指导256页14题（2012年青岛中考第14题）：

如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm． 三．变式拓展：

1.如图，AC、BD为边长为2cm的正方形ABCD的对角线，相交于点O,点D为BC边的中点，请在BD上找一点P，使DP+CP之和最小，最小为 。

A

D

O P

C B D



变式练习1变式练习2变式练习3

图 AC上确定一点P，使PD+PE的和2.如图2，E是边长为4cm的正方形ABCD边CD上的一点，且DE=1，试在

最小，最小为 。

3.如图3，等腰直角三角形ABC的边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一个动点，则PB+PE的最小值为

A D A D P O E

P



C B C B Q



变式练习5变式练习4 变式练习6

4. （2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.

ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD

内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为（ ） A．23 B．26 C．3 D．6

5.(2009抚顺)如图所示，正方形

6.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，MP＋NP的最小值是__________．

7.在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE＝2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE＋PB的最小值是_ ．

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8.(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（ ）

48

A、217B、17C、 17D、3

171717



9.如图，△ABC中，AB=2，∠A=30°，若在AB、AC上各取一点，使得BM+MN的值最小，最小值为 。

拓展提升10

拓展提升9



10..如图，A、B图是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在直线a上平行移动。问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB

最短，最短是 。

11. 如图3，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK

的最小值为



拓展提升11

12. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是

图 （ ）.

（A）3 （B）

5 （C）2 （D）1

D1A1DA

4

B1B2C11C

B

C





变式练习12变式练习13



图 图 13.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），

问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

14. 有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体

的一个顶点A处沿表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为

A







变式练习14图

变式练习15图

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变式练习16图

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