正弦定理的证明及外接圆圆心位置的探究

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正弦定理的证明及外接圆圆心位置的探究

福建省武平县 英才教育 林清辉 364300

我们知道在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，也就是：

abc

，这里各边长和所对角的正弦比值会相等，那会等于多少呢？ sinAsinBsinC

abc

2R（其中R是外接圆的我们引入三角形的外接圆，可以证明其实

sinAsinBsinC

a

2R） 半径）证明过程如下：（因为三边的证明过程相同，所以这里只证明

sinA

假设B，A，N是BC中点,PC⊥BA于P。 情况一：当B是锐角，A是钝角。

即点A在线段BP间时，因为A大于90°，我们可以判断出外接圆圆心O的位置是在BC直线不同于A的一侧，也就是图中BC的下方。（如果O与A在BC的同一侧，那∠BOC=2∠A＞180°，显然∠BOC最多只有180°，矛盾，所以O在BC的下方）此时

A

1

(360BOC) 2。



图一

a

()NCa

sinAsin2

OCR2R

aa所以2R

asinA()2R

情况二：当B、A都是锐角。因为∠A是锐角，所以外接圆圆心O在BC上方。如图二。






图二

1

BOCNOC, 2

a()NCa

sinAsinNOC2

OCR2R

aa

2R 所以

sinA(a)

2R

此时A

情况三，当∠B是锐角，∠A是直角，即点A与点P位置重合，此时O与N重合

aa

a2NC2R sinAsin90

情况四，当∠B是直角,此时O在AC上，如图三，也可以得到

a

2R sinA



图三

情况五，∠B是钝角，∠A是锐角，如图四




图四

1

BOCNOC 2

a()NCa

sinAsinNOC2

OCR2R

aa

2R 所以

sinA(a)

2R

此时A

综上，在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦值之比等于这个三角形外接圆的直径，即

abc

2RsinAsinBsinC。

锐角三角形外接圆圆心的位置在三角心内，钝角三角形外接圆圆心在三角形外，直角三角心在直角所对的边上。

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