古希腊数学

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古希腊数学

稿件提供人:南仓中学高中数学教师 王艳 刘艳辉

古希腊数学一般指公元前600年至公元后600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们所创造的数学。古希腊人的历史可以远溯数千年之久。晚至公元前600年左右，在地中海和黑海沿岸大部分地区已经布满了古希腊人的足迹。这些海滨新移民们，处身于两大河谷的毗邻之地，极易汲取那里的文明。更为重要的是，他们天生便具有一种开拓进取的精神，厌恶因袭守旧是他们的作风。所以当大批游历埃及和美索不达米亚的希腊商人、学者带回了新奇的数学知识之后，在古代希腊城邦社会特有的唯理主义气氛中，这些经验的算术和几何方法很快便被加工升华为具有初步逻辑结构的论证数学体系。 1 希腊文明

古代希腊从地理疆城上讲，包括巴尔干半岛南部 、小亚细亚半岛西部、意大利半岛南部、西西里岛及爱琴海诸岛等地区。这里长期以来由许多大小奴隶制城邦国组成，直到约公元前325年，亚历山大大帝（ alexander the great）征服了希腊和近东、埃及，他在尼罗河口附近建立了亚历山大里亚城（alexandria ）。亚历山大大帝死后(323b.c.)，他创建的帝国 分裂为三个独立的王国，但仍联合在古希腊文化的约束下，史称希腊化国家。统治了埃及的托勒密一世（ptolemy the first）大力提倡学术，多方网罗人才，在亚历山大里亚建立起一座空前宏伟的博物馆和图书馆，使这里取代雅典，一跃而成为古代世界的学术文化中心，繁荣几达千年之久！希腊人的思想毫无疑问地受到了埃及和巴比伦的影响，但是他们创立的数学与前人的数学相比较，却有着本质的区别，其发展可分为雅典时期和亚历山大时期两个阶段。 从泰勒斯到毕达哥拉斯学派 （1）爱利亚学派

从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料很少。不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念。在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从宗教中分离开来。

米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡。泰勒斯生于公元前624年，是公认的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很

快就学会古代流传下来的知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆

脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。

当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测到一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争。多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高度，使法老大为惊讶。泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。 泰勒斯是演绎几何学的鼻祖，开数学证明之先河，据说他最先证明了如下的定理：1.圆被任一直径二等分；

2.等腰三角形的两底角相等； 3.两条直线相交，对顶角相等；

4.半圆的内接三角形，一定是直角三角形；

5.如果两个三角形有一条边以及这条边上的两个角对应相等，那么这两个三角形全等。

泰勒斯在天文学方面也曾有不同凡响的工作，据说他曾测知公元前585年5月28日的一次日全食。当时正值战争之际，泰勒斯向世人宣告，若不停战，到时天神震怒！到了那天下午，两派将士仍激战不已，霎时间，太阳在天空中消失，星辰闪烁，大地一片漆黑。双方将士见此景象，砍太阳神真的发怒了，要降罪于人类，于是立即罢兵休战，从此铸剑为犁，和睦相处。

另据传说，泰勒斯醉心于钻研哲学与科学，且可谓清贫守道，而遭市井嘲笑。他不以为然地说，君子爱财取之有道。他在对气候预测的基础上，估计来年油料作物会大丰收，于是垄断了米利都和开奥斯两地的所有油坊，到季节以高价出租。有了钱，科学研究可以做得更好。

这两则传说，如果是真实的话，那么泰勒斯确实不愧于其墓碑上所镌刻的颂辞：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地、万古流芳。”不过，这也是一则传说，因为泰勒斯生活的年代离我们太久远了，没有确切可靠的资料。 （2）毕达哥拉斯




在论证数学的方向上，泰勒斯迈出了第一步，但希腊数学著作的评注者们还是倾向于将论证数学的成长归功于毕达哥拉斯及其在克洛托内创建的秘密会社。

毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯(今希腊东部小岛)。为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克洛托内，在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪(约公元前500～前300)之久.毕达哥拉斯非常重视数学，企图用数来解释一切．这个学派不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是“数”．这学派有一种习惯，就是一切发明都归功于学派的领认而且常常是秘而不宣．所以后人很难知道究竞是谁在什么时候发明的．

普遍的认识是，欧几里得《原本》前两卷的大部分材料均来源于毕达哥拉斯学派。几乎所有的西方文献，都愿意为众所周知的勾股定理冠以毕达哥拉斯之名。有传说认为，毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，曾宰一百头牛祭缪斯女神(muses，神话中掌管文艺、科学的女神)，以酬谢神的默示，但关于毕达哥拉斯如何证明该定理，始终是个难解之谜。勾股定理早己为巴比伦人所知．不过最早的证明，大概还应归功于毕达哥拉斯学派。有的学者猜想这证明是从研究垛积数(figu rate numbcr) 的关系得出来的．可惜证法已失传．现在教科书所采用的面积证法，如欧几里得《几何原本》卷1的47题，是欧儿里得首先给出。

有些古代学者如斯特技博(strzbo，公元前66—24年，希腊地理学家)说毕达哥拉斯曾在巴比伦学习过，有的甚至说他到过印度．“他对数字的神秘观点类似早期的巴比伦，而整个暂学的气氛十分接近印度．值得注意的是，勾股定理在毕达哥斯之前巴比伦等国都早已知道，和毕达哥拉斯有什么关系，有待进一步研究.尽管人们将许多几何成就都归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派最为尊崇的信条却是“万物皆数”。这里的“数”仅指整数。分数则是两个整数之间的一种比值关系。他们认为所有的数皆由1而生，并命之为“原因数”。每个数都被赋予了特定的属性，而在一切数字中最为神圣的是10，它是完美与和谐的标志。毕达哥拉斯学派对数进行了各种分类，除了偶数和奇数之外，他们还定义了完全数、过剩数、不足数、亲和数等概念。关于“形数”的研究，强烈反映了他们将数作为几何思维元素的精神。所谓n边形数，实际就是首项为1，公差为（n ╟ 2）的等差数列的部分和序列。如果将它们按照一定规律描绘出来，将会得到一些有趣的图形。将算术与几何紧密联系起来，如他们发现用三个整数表示直角三角形边长的一种公式：2n十1，2n2十2n分别是二直角边，则斜边是2 n2—2 n十1．这公式属于算术，又属于几何。这学派又将自然数分为若干类：奇数，偶数；奇数乘奇数，偶数乘偶数；素数，完全数(一个数等于除它本身以外的所有因子之和，如28＝1十2十4十7十14)；三角数(1，3，6，l0，„)；平方数(1，4，9，16，„)；五角数(1，5，12，22，35，5l，„)等等．又注意到连续的奇数和必为平方数 1＝12． 1十3＝22．

1十3十5＝32． 1十3十5十7＝42 这都和几何有关。

毕达哥拉斯学派原以为任何量都可以表示成两个整数之比。这在几何上相当于说：对两条任意给定的线段，总能找到第三条线段作为公共度量单位，将它们划分为整数段。是谓这两条线段的长度是可公度量。然而随后发现的事实却不尽如此，例如正方形的对角线与其一边就是一对不可公度的线段。亚里士多德曾就这一事实给出了证明，并声称他的思想来源于毕达哥拉斯学派。其过程与我们今天证明 2 为无理数的方法基本雷同。关于不可公度量的发现，流传着一个可悲的传说：学派成员希帕苏斯是不可公度线段的首位发现者，当他将这一事实公之于众后，惊恐不已的其他成员遂将他抛进了大海。毕达哥拉斯学派以为宇宙万物皆依赖于整数的信条，由于不可公度量的发现而受到了动摇。继 2之后，越来越多的“无理”量深深困扰住了古希腊的数学家们。他们所面临的这一逻辑困难，有时也被称为“第一次数学危机”。

毕达哥拉斯学派另一项几何成就是正多面体作图。他们称正多面体为“宇宙形”，证明了平面可用正三角形、正方形或正六边形填满，空间可用立方体填满。又知道正四面体、六面体、八面体和二十面体，并用这四种正多面休来表示火、风、土、水“四大元素”．后来又发现了正十二面体，但没有相应的第五种元素，于是就用来代表宇宙全体．在三维空间仅有的五种正多面体中，毕达哥拉斯及其学派成员先后解决了它们的作图问题。在所有正多面体中，正十二面体最为引人注目。这是因为，它的每个面都是五边形，其作图问题涉及到了一个有趣的概念，那就是在希腊人之后两千多年才被起用的“黄金分割”。这个学派在天文方面的贡献也不少．首创地圆说，认为日、月、五星都是球形，悬在太空中，他们认为球是最完美的立体，圆是最完美的平面图。毕达哥拉斯还是音乐理论的始祖，他阐明了单弦的调和乐音与弦长的关系．

毕达哥拉斯学派数字神秘主义的外壳，包含着理性的内核。首先，它加强了数概念中的理论倾向，如果说埃及与巴比伦算术主要是实用的数字计算技巧，那么毕达哥拉斯学派的算术则更多地溶进了某种初等数论的智力因素，这是向理论数学过渡时观念上的飞跃，并且由于数形结合的观点，这种飞跃实质上推动了几何学的抽象化倾向。其次，“万物皆数”的观念，为他们用数的理论解释天体运动，发现音乐定律等等提供了根据，这使得毕达哥拉斯学派成为以数学来理解和分析自然现象的先驱。 3.2.2 雅典时期的希腊数学

毕达哥拉斯学派在政治上倾向于贵族制，在希腊民主力量高涨时期受到冲击并逐渐解体。毕达哥拉斯本

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