用微积分基本定理推导圆锥的体积公式

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推导圆锥的体积公式

设圆锥的底面半径为R，高为h，在直角坐标系中作直线y点（O，R）和B点（h，0）

R

xR交x轴、y轴于Ah



将△AOB绕x轴旋转一周得到的几何体是底面半径为R，高为h的圆锥。 则V锥



h

0

ydx(

0

2

h

R2x2

h22R2xR2)dx

h

其中积分区间为[0,h]

不妨设f(x)

R2

h22R2

xxR2

h

2

根据微积分基本定理Q



b

a

f(x)dxF(b)F(a)，F'(x)f(x)

2

因为F'(x)f(x)

R2

h22R2R23R2222

xxR，所以F(x)xxRx 2

hh3h

所以



h

0

f(x)dxF(h)F(0)

R2h3

3h2



R2h2

h

1

R2hR2h

3

因此V锥

1

R2h 3

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