2012年世界奥林匹克数学竞赛九年级试题

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2012赛季世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛 A卷

--------------------------------------------------------------------------------- 考生须知：

1. 2. 3. 4. 每位考生将获得考题一份。考试期间，不得使用计算工具或手机。 本卷共100分，填空题每小题5分，解答题每题10分。

请将答案写在本卷上。考试完毕时，所有考题及草稿纸会被收回。 若计算结果是分数，请化至最简，并确保为真分数或带分数。

九年级试卷

（本试卷满分100分 ，考试时间90分钟 ）

一．填空题。（每题5分，共60分）

1

1.已知x3x1，则代数式x3x1的值是_____________。

22.若xy352，xy325，则xy=______________。 3.方程x|x|－3|x|＋2=0的实数根个数为_______________。 4.已知方程2xkx2k10的两个实数根的平方和为___________。

2

29

，则k的值是4

1

5.已知2，则4x2的值是______________。

xx15xx1

x

6.已知2a3b10，且ab1，则b3a20，

2

2

2

aba1

的值是___________。 b

7.在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使AE

AF

1

AB，3

1AGAD，连结EF交对角线AC于G，则的值是_______________。 4AC

8.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC=a，AB=AC=AD=b，则BD的长是______________。

（第8题） （第9题） （第10题） 9.如图，在平行四边形ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长是________________。

10.如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M，N分别是边AB，BC的中点，则PM＋PN的最小值是_____________。

11.如图，ABCD是正方形，E、F是AB、BC的中点，连结EC交DB、DF与G、H，则EG：GH：HC=________________。

（第11题） （第12题）

12.如图，已知AB是半径为1的⊙O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在⊙O内作正三角形ABC，点D为⊙O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线


交⊙O于点E，则AE的长为______________。 二．解答题。（每题10分，共40分）

1.已知x和y是正整数，并且满足条件xy+x+y=71，xyxy880，求x

2

2

2

y

2

的值。

2.关于x的方程kx－(k－1)x+1=0的解是有理数，求整数k的值。

3.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且EF⊥BE,求△FCE的面积。

2

4.如图，已知AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，求AC的长。

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