求等比数列通项公式的常用方法

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求等比数列通项公式的常用方法



等比数列的通项公式是研究等比数列的性质与其前n项和的基础，也是研究数列问题的基石，所以等比数列通项公式的求法在等比数列的研究中占有重要的地位，下文就介绍求等比数列通项公式的常用方法.

一．定义法：先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式.

例1．求下列数列的通项公式 5，-15，45，-135，405，-1512…

解：所给的数列是等比数列，且是首项为5，公比为-3。所以通项an5(3)n1 二．公式法：如果数列是等比数列，只要知道首项与公比，就可以根据等比数列的通顶公式ana1qn1来求。

例2：数列an为等比数列，若a1a2a37,a1a2a38，求通项an

3

a1a2a38（利用等比数列的性质）a22，解，由已知得a2

a1a2a37,q2或q

a22

a2a2q7 即2q502q25q20，解得

qq

1

2

当q2时，得a11，an2n1 当q

1

时，得a14，an23n 2

评：等比数列的通项公式有时为了需要，不一定非得由a1与q来表示，也可以用其他项来相互表示如anamqnm

例3：已知等比数列an中，a33,a10384，则该数列的通项an= 解： a10a3q103,q7

a10384128q2,ana3qn332n3 a33

注：此类题目都会很醒目的出现等比数的字眼，目的求首项与公比，当然求首项和公比可灵活一些，如用等比数列的性质以及变换式anamqnm. 三．递推关系式法：给出了递推公式求通项，常用方法有两种：

（一）是配常数转化为等比数列，从而再求通项

例4．已知数列an中a11，an12an1，求通项公式an


解：由已知得：an112(an1)，∴

an11

2 ∴数列an1是首项为an1

a112，公比为2的等比数列 ∴an1(a11)2n12n.即an2n1.

评：对于pan1qanr(pq)形式的递推关系式，可以配常数，即

p(an1k)q(ank)，这里k

r

从而转化为等比数列，再求通项。也可以qp

用迭代法。如 an12an1， an2an11，2an122an22，

22an223an322

2n2a22n1a12n2，

将上列各式相加得an2n1a1(12222n2)2n11. （二）取倒数转化为等比数列，从而再求通项. 例5．已知数列an中a12，an1

2an

，求通项公式an. an1

解：易知an0，由an1

1an1

2an1111

，两边取倒数得，即

an1an122an

1

111111

(1).∴数列1是首项为1，公比为的等比数列，2ana122an

11

12

n

∴

111

1()n1 故anan22

.

S1(n1)四．利用Sn与an的关系：an与Sn的关系为an，把Sn转化

SS(n2)n1n

为an的递推关系式，再求通项.

例6．已知数列an的前n的和为sn，且(3m)sn2manm3，其中m为常数，m3，求通项公式an.

解：∵(3m)sn2manm3 ∴当n2时，(3m)sn12man1m3 ∴(3m)an2man2man1，∴

an2m

(m3的常数)，∴数列an是an1m3

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