“九连环”中的数列递推问题

2022-04-17 05:30:10   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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九连环,数列,问题
“九连环”中的数列递推关系



山西省原平市第一中学 任所怀



“九连环”是一个古老的中国智力游戏,对于它的结构和玩法在人教版普通高中课程标准实验教科书《数学5》第59页有详细介绍。为了让大家能更深入了了解这一游戏我对这一游戏进行了进一步的深入剖析,写成这一篇文章与大家共享。

初见“九连环”可能会无从下手,按照我们从简单到复杂,从特殊到一般的归纳法思路,我们不妨先从“一连环”“二连环”“三连环”,„„入手,从中找出规律,从而得出“n连环”的一般解法。

“一连环”解法简单,只需把圆环从上面的框架上取下,然后从框架中间穿过,就可把圆环从框架上解下。把这样的移动记为一次移动,则解“一连环”需要移动的次数为1次,记为f(1)1

“二连环”解法也简单,只需按照上面的移动规则,先把第2环解下,然后再解下第1环即可,则解“二连环”需要移动的次数为2次,记为f(2)2 “三连环”的解法为:先解下第1环,(记为:下1,再解下第3环(记为:3,再套上第1环(记为:上1,接着解一个“二连环”,就可完成。所以解“三连环”需要移动的次数为f(3)111f(2)5

“四连环”的解法为:先解下前两环,(即下1,下2,再解下第4环(下4,再套上前2环(上2,上1,接着解一个“三连环”,就可完成。所以解“四连环”需要移动的次数为f(4)f(2)1f(2)f(3)2f(2)f(3)110

由上归纳类比,可得

n连环”n3)的解法可分为四步:第一步:先解前n-2环,需要移动

f(n2)次;第二步:解下第n环,需要移动1次;第三步:套上前n-2环,解

法就相当把解下过程倒过来,所以需要移动f(n2)次;第四步:解下前n-1环,需要移动的次数为f(n1)。于是解“n连环”需要移动的次数为

f(n)f(n2)1f(n2)f(n1)2f(n2)f(n1)1(n3)

于是我们得到了一个数列的递推关系,即

n3)已知数列{f(n)},其中f(1)1,f(2)2,f(n)2f(n2)f(n1)1,(,下

面我们共同探求,如何能求出该数列的通项公式?

解:由f(n)2f(n2)f(n1)1,(n3)

1)2[fn( f(n)f(n

2)fn(

1)]n1 ,


anf(n1)f(n),则an2an11(n2)a1f(2)f(1)3 an2an11(n2)an12(an11)

于是数列{an1}为等比数列,公比为2,首项为a114 所以an142n12n1,所以an2n11 f(n1)f(n)2n11 1

f(n1)r2n1p(1)[f(n)r2np],则

f(n1)f(n)3r2n2p 2

21

对比(12)两式可知3r22p1 于是r,p

32

2121

f(n1)2n1(1)[f(n)2n]

3232

21211

于是有数列{f(n)2n}为等比数列,公比为-1,首项为f(1)2

32326

211

所以f(n)2n(1)n1

326

121

于是有f(n)(1)n12n

632

点评:有了这一结论,我们就可轻松计算出解“九连环”需要移动的次数为

f(9)341次。

另外在上面的研究过程中,我们两次构造数列来求数列的通项公式,这是由递推推导通项的重要方法。下面我们再来看一个例子:

(人教版普通高中课程标准实验教科书《数学5》第69页)

已知数列{an}中,a15,a22,an2an13an2(n3),对于这个数列的通项作一研究,能否写出它的通项公式? 解:由an2an13an2(n3) anan3)13(an1an2)(n

bnan1an,则上式可化为bn3bn1(n2),且b1a2a17 所以数列{bn}为等比数列,公比为3,且首项为7,所以bn73n1 an1an73n1(nN*) 3

an1r3n(1)(anr3n1),则an1an4r3n1 4


7

对照(3)和(4)可知4r7,于是r

4

77

an13n(1)(an3n1)

44

77713

所以数列{an3n1}为等比数列,公比为-1,首项为a15

4444713137

所以an3n1(1)n1,于是an(1)n13n1

4444

点评:对于上面两个由递推推导通项的过程,你会发现它们的推导过程如出一辙。先构造一个数列把相邻三项的递推关系转化为相邻两项的递推关系,然后再构造数列把相邻两项的递推关系转化为通项公式。

举一反三,下面请读者自已动手,推导著名的数列斐波那契数列的通项公式;

已知数列{an},其中a11,a21,anan1an2(n3),求数列{an}的通项公式。 答案为:an

551n515n()() 5252

作者简介:任所怀,山西省原平市第一中学一级教师。1996年毕业于山西师范大学数

学系,在中学任教15年,一直从事高中数学教学研究工作。在人教网发表论文6篇。

2006年度忻州市高中数学信息技术与学科课程整合教学能手; 2011年荣获忻州地区信息技术与课堂教学“十佳教师”称号;

2012年在参与“十一五”规划课题《提高课堂教学实效性的教学策略研究工作中,被评为;教育部课题研究先进工作者。




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