三角形外角平分线定理

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三角形外角平分线定理

三角形是我们初中数学课程中最基础的几何形状之一。它由三条线段组成，每条线段都连接两个角。在研究三角形的性质时，外角平分线定理是一个非常重要的定理。本文将介绍外角平分线定理的概念、证明和应用。

一、外角平分线定理的概念

外角平分线是指从三角形的一个顶点向对边所在直线上引出的线段，使得该线段与对角所成的两个角相等。外角平分线定理指出，当三角形的某条外角的平分线与对边相交时，这个交点将把对边分成两段，且两段对边的比等于相应的两个其他对边的比。

二、外角平分线定理的证明

首先，我们假设有一个三角形ABC，其中∠BAC是一个外角，并且外角平分线BD将∠BAC平分成两个角∠BAD和∠DAC。

我们需要证明：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$。

首先，延长AC线段，使之与外角平分线BD相交于E点。那么，由相交线分线段成比例的性质可知，有

$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}$。（式1）

接下来，我们来证明BE与EC相等。根据外角平分线的定义，∠BAD与∠DAC是等角，那么在三角形ABE和ACE中，有

∠BAE=∠CAD。又因为∠BAC是一个外角，所以∠BAE=∠DAC。综


合以上两个等角关系，可以得出三角形ABE与ACE相似。据此，我们可以得到：

$\frac{BE}{AB}=\frac{EC}{AC}$。（式2） 结合式1和式2，可以得到：

$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}=\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{DC}$。 以上证明了外角平分线定理。 三、外角平分线定理的应用

外角平分线定理在解决几何问题时具有重要的应用价值。下面通过几个具体的例子来展示其应用。

例一：已知三角形ABC的两边AB和AC分别为3cm和4cm，且∠BAC的外角平分线BD与BC相交于点D。求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$。

解：根据已知情况，我们可以得到∠BAC的外角平分线BD将BC分成了两段，记为BD和DC。由于已知三角形ABC中AB=3cm，AC=4cm，那么根据外角平分线定理，我们需要证明$\frac{3}{4}=\frac{BD}{DC}$。

根据外角平分线定理的证明过程，可以得到

$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}=\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{DC}$。所以，$\frac{3}{4}=\frac{BD}{DC}$。

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