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平面向量知识点归纳
平面向量
一．向量有关概念：
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：
2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与
AB共线的单位向量是AB
)；
|AB|
4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。 提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点
A、B、C共线AB、 AC共线；
6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如
下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若ab,bc，则ac。（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______（答：（4）（5））
二．向量的表示方法：
AB，注意起点在前，终点在后；
2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；
3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如
表示为a
那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
，
j为基底，则平面内的任一向量a可
xiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，
三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、
2，使a=1e1＋2e2。如
（1）若a(1,1),b
13
； (1,1),c(1,2)，则c______（答：ab）
22
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
e1(0,0),e2(1,2) B. e1(1,2),e2(5,7)
13
C. e1(3,5),e2(6,10) D. e1(2,3),e2(,)
24
A.
（答：B）；
（3）已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,且
ADa,BEb,则BC可用向量a,b表示为_____（答：24
； ab）
33
（4）已知ABC中，点D在BC边上，且CD
2DB，CDrABsAC，则rs的值是___
（答：0）
四．实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作时，
a，它的长度和方向规定如下：1aa,2当>0
a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，a0，注意：a≠0。
五．平面向量的数量积：
1
平面向量知识点归纳
1．两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OAa,OBb，AOB
0称为向量a，b的夹角，当
内积或点积），记作：a再是一个向量。如
（1）已知a(1,
＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝
2
时，a，b垂直。
2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或
•b，即a•b＝abcos
。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不
11
),b(0,),cakb,dab，c与d的夹角为，则k等于____ 224
（答：1）；
（2）已知a2,b5,ab3，则ab等于____
（答：
（3）已知a,b是两个非零向量，且
； 23）
abab，则a与ab的夹角为____
（答：30）
3．b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0。如 已知|4．a
a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______（答：
12
） 5
•b的几何意义：数量积a•b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。
5．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则： ①a
ba•b0；
②当a，b同向时，a•b＝ab
，特别地，a
2
a•aa,aa
22
；当a与b反向时，a•b＝－ab
；
③非零向量a，b夹角的计算公式：cos
a•bab
；④|a•b||a||b|。如
（1）已知a
(,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______
41
（答：或0且）；
33
六．向量的运算：
1．几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设
ABa,BCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；
②向量的减法：用“三角形法则”：设
ABa,ACb,那么abABACCA，由减向量的终点指向被减向量
的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如
（1）化简：①ABBCCD___；②ABADDC____；③(ABCD)(ACBD)_____
（答：①AD；②CB；③0）；
（2）若正方形ABCD的边长为1，
ABa,BCb,ACc，则|abc|＝_____
（答：2
2）；
2．坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则： ①向量的加减法运算：ab(x1x2，分线上
（答：
2
y1y2)。如
ABAC(R)，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平
（1）已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP
1）； 2
本文来源：https://www.wddqxz.cn/87d3e7cf5afb770bf78a6529647d27284a7337d9.html
2023-01-15
