2019-2020学年浙江省宁波市北仑区八年级下学期期末数学试卷 (解析版)

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2019-2020学年浙江省宁波市北仑区八年级第二学期期末数学试

卷

一、选择题（共10小题）. 1．五边形的内角和是（ ） A．180°

B．360°

C．540°

D．720°

2．下列计算正确的为（ ） A．

+

＝



B．

×

＝

C．

＝4



D．

﹣

＝



3．下列各图中，不是中心对称图形的为（ ）

A． B．

C． D．

4．用反证法证明“a≥b”时应先假设（ ） A．a≤b

B．a＞b

C．a＜b

D．a≠b

5．在某次考试后，组办方对应聘者进行了“听、说、读、写”四项技能测试，若人才要求是具有强的“听”力．较强的“说”与“写”能力及基本的“读”能力，根据这个要求，“听、说、读、写”四项技能测试比较合适的权重设计为（ ） A．3：3：2：2 6．一元二次方程x2﹣3

B．5：2：1：2

C．1：2：2：5

D．2：3：3：2

x+6＝0的根的情况为（ ）

B．有两个相等的实数根 D．没有实数根

A．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根

7．在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点的坐标A、B、C分别为（﹣2，0），（0，1），（2，0），则顶点D的坐标为（ ） A．（0，﹣1）

B．（﹣2，1）

C．（2，1）

D．（0，﹣2）

8．为了美化校园环境，某区第一季度用于绿化的投资为18万元，前三个季度用于绿化的总投资为90万元，设前三个季度用于绿化投资的平均增长率为x．那么x满足的方程为


（ ）

A．18 （1+2x）＝90



B．18 （1+x） 2＝90

C．18+18 （1+x）+18 （1+2x）＝90 D．18+18 （1+x）+18 （1+x） 2＝90

AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝3，AC＝4．E，9．如图，四边形ABCD中．F分别是BD，AC的中点，则EF的长为（ ）



A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

10．定义新运算：a※b＝，则函数y＝4※x的图象可能为（ ）

A． B．

C． D．

二、填空题（每小题5分，共30分） 11．二次根式

中字母a的取值范围是 ．

12．已知一组数据为：3，x，6，5，4，若这组数据的众数是4，则x的值为 ． 13．若x＝4是二次方程x2+ax﹣4b＝0的解，则代数式a﹣b的值为 ．

14．在平面直角坐标系中，正比例函数y＝3x与反比例函数y＝的图象交于点A（a，﹣6），则k＝ ．

15．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部 分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为 ．




16．如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N，∠ACB＝45°，AN＝1，AF＝3，则EF＝ ．



三、解答题（第17-19题6分，第20.21题各8分，第22.21题10分，第24题12分，第25题14分，共80分） 17．计算： （1）（（2）（

+

）×

+

；

．

）2﹣

18．解方程：

（1）（x﹣4）2﹣3＝0； （2）4（x﹣3）＝2x（x﹣3）．

19．某射击队伍正在进行射击训练，现有两位选手的5次射击成绩如下所示： 甲：7环，8环，9环，8环，10环 乙：6环，9环，10环，8环，10环

（1）分别求甲、乙两位选手的射击成绩的中位数和众数；

（2）经过计算甲的方差为1.04环2，乙的方差为2.24环2．所以 选手更加稳定．20．如图，已知点A（2，m）是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连结OA，△ABO的面积为6． （1）求k和m的值；

（2）直线y＝2x+a（a≤0）与直线AB交于点C与反比例函数图象交于点E，F；


①若a＝0，已知E（p，q），则F的坐标为 （用含p，q的坐标表示）； ②若a＝﹣2．求AC的长．



21．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF． （1）求证：BE＝DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．



22．疫情结束后，某广场推出促销活动，已知商品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该商品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．【销售利润＝销售总额﹣进货成本】．

（1）若该商品的的件单价为43元时，则当天的售商品是 件，当天销售利润是 元；

（2）当该商品的销售单价为多少元时，该商品的当天销售利润是3450元． 23．小王为探究函数y＝

（x＞3）的图象经历了如下过程．

（1）列表，根据表中x的取值，求出对应的y值，将空白处填写完整； x y

… …

3.5

4

4.5 2

5

5.5

6

… …

3 1

（2）以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点并画出函数图象；


（3）结合由y＝（x＞0）图象到y＝的平移变化可以得到y＝

图象的变化，猜想由y＝的图象经过向

y＝（x≠﹣3）图象． （x≠﹣3）的对称轴是 ．



24．（1）如图1，四边形ACDE中，△ABC与△BDE均为直角三角形，且AB⊥BE，∠BEA＝45°，求证：△ABC≌△BED．

（2）如图2，点A（1，2），连结OA，将射线OA绕点O按逆时针方方向旋转45°．得到射线OB，AC⊥OA交OB于点C，分别过点A，点C作x轴，AD的垂线，垂足分别E，AE＝ ，为D，由（1）得 （填写两个三角形全等），所以CE＝ ，C的坐标为 ，则直线OB的解析式为 ．

（3）如图3，点A（3，3）在反比例函数y＝的图象上，B（0，2）作射线AB，将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象的另一支于点C，求点C的坐标．



25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx+b（b≠0）分别与y轴，x轴交于A，B两点，点E，点G分别为AB，OE中点，点A，B关于点G的对称点分别为C，D，则称四边形ABCD为直线AB的伴随四边形，直线CD为直线AB的伴随直线． （1）若伴随四边形为矩形，则k＝ ；


（2）已知伴随直线为y＝﹣4x，四边形ABCD的面积为25，求直线AB的解析式； （3）如图2，连结CG，与x轴交于点H，若△BHC为等腰三角形且k＞0，求k的值．








参考答案

一、选择题（每小题4分，共40分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1．五边形的内角和是（ ） A．180°

B．360°

C．540°

D．720°

【分析】根据n边形的内角和为：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为整数），求出五边形的内角和是多少度即可． 解：五边形的内角和是： （5﹣2）×180° ＝3×180° ＝540° 故选：C．

2．下列计算正确的为（ ） A．

+

＝



B．

×

＝

C．

＝4



D．

﹣

＝



【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断． 解：A、B、原式＝C、原式＝2D、

与﹣

与

不能合并，所以A选项错误； ＝

，所以B选项正确；

，所以C选项错误；

不能合并，所以D选项错误．

故选：B．

3．下列各图中，不是中心对称图形的为（ ）

A． B．

C． D．


【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解：A．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； B．矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不合题意； C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形形，故本选项不合题意； D．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：A．

4．用反证法证明“a≥b”时应先假设（ ） A．a≤b

B．a＞b

C．a＜b

D．a≠b

【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可． 解：用反证法证明“a≥b”时，应先假设a＜b． 故选：C．

5．在某次考试后，组办方对应聘者进行了“听、说、读、写”四项技能测试，若人才要求是具有强的“听”力．较强的“说”与“写”能力及基本的“读”能力，根据这个要求，“听、说、读、写”四项技能测试比较合适的权重设计为（ ） A．3：3：2：2

B．5：2：1：2

C．1：2：2：5

D．2：3：3：2

【分析】根据加权平均数的定义可得答案．

解：根据“具有强的“听”力．较强的“说”与“写”能力及基本的“读”能力”的要求，

∴符合这一要求的权重是B选项5：2：1：2， 故选：B． 6．一元二次方程x2﹣3

x+6＝0的根的情况为（ ）

B．有两个相等的实数根 D．没有实数根

A．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根

【分析】根据根的判别式判断即可． 解：∵x2﹣3△＝（﹣3

x+6＝0，

）2﹣4×1×6＝﹣6＜0，

∴方程没有实数根， 即一元二次方程x2﹣3故选：D．

7．在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点的坐标A、B、C分别为（﹣2，0），（0，1），

x+6＝0的根的情况为没有实数根，


（2，0），则顶点D的坐标为（ ） A．（0，﹣1）

B．（﹣2，1）

C．（2，1）

D．（0，﹣2）

【分析】根据题意画出图形，根据菱形的性质即可得出结论． 解：如图所示，

∵菱形ABCD的对角线互相垂直平分，A、B、C分别为（﹣2，0），（0，1），（2，0），∴D（0，﹣1）． 故选：A．



8．为了美化校园环境，某区第一季度用于绿化的投资为18万元，前三个季度用于绿化的总投资为90万元，设前三个季度用于绿化投资的平均增长率为x．那么x满足的方程为（ ）

A．18 （1+2x）＝90



B．18 （1+x） 2＝90

C．18+18 （1+x）+18 （1+2x）＝90 D．18+18 （1+x）+18 （1+x） 2＝90

【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“第一季度用于绿化的投资为18万元，前三个季度用于绿化的总投资为90万元”，可得出方程．

解：设前三个季度用于绿化投资的平均增长率为x，那么依题意得 18+18 （1+x）+18 （1+x） 2＝90． 故选：D．

AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝3，AC＝4．E，9．如图，四边形ABCD中．F分别是BD，AC的中点，则EF的长为（ ）




A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

【分析】根据勾股定理得到AB＝5，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠ABD＝∠ADB，求得AB＝AD＝5，连接BF并延长交AD于G，根据全等三角形的性质得到BF＝FG，AG＝BC＝3，求得DG＝5﹣3＝2，根据三角形中位线定理即可得到结论． 解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵BC＝3，AC＝4， ∴AB＝5， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD＝5，

连接BF并延长交AD于G， ∵AD∥BC， ∴∠GAC＝∠BCA， ∵F是AC的中点， ∴AF＝CF， ∵∠AFG＝∠CFB， ∴△AFG≌△CFB（AAS）， ∴BF＝FG，AG＝BC＝3， ∴DG＝5﹣3＝2， ∵E是BD的中点， ∴EF＝DG＝1．


故选：A．



10．定义新运算：a※b＝，则函数y＝4※x的图象可能为（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据题目中的新运算，可以得到函数y＝4※x的图象对应的函数解析式，从而可以解答本题．

解：根据新定义运算可知，y＝4※x＝

，

（1）当x≥4时，此函数解析式为y≥11，函数图象在第一象限，以（4，1）为端点且在第一象限的射线，故可排除A、B、C；

（2）当x＜4时，此函数是反比例函数，图象在一、三象限． 故选：D．

二、填空题（每小题5分，共30分） 11．二次根式

中字母a的取值范围是 a≥2 ．

【分析】由二次根式中的被开方数是非负数，可得出a﹣2≥0，解之即可得出结论． 解：根据题意得：a﹣2≥0， 解得：a≥2． 故答案为：a≥2．

12．已知一组数据为：3，x，6，5，4，若这组数据的众数是4，则x的值为 4 ． 【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案．


解：这组数据中的众数是4，即出现次数最多的数据为4． 故x＝4． 故答案为：4．

13．若x＝4是二次方程x2+ax﹣4b＝0的解，则代数式a﹣b的值为 ﹣4 ． 【分析】将x＝4代入到x2+ax﹣4b＝0中即可求得a﹣b的值． 解：∵x＝4是一元二次方程x2+ax﹣4b＝0的一个根， ∴42+4a﹣4b＝0， ∴a﹣b＝﹣4． 故答案为：﹣4．

14．在平面直角坐标系中，正比例函数y＝3x与反比例函数y＝的图象交于点A（a，﹣6），则k＝ 12 ．

【分析】先根据y＝3x求得A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值．

解：∵点A（a，﹣6）在正比例函数y＝3x的图象上， ∴﹣6＝3a， 解得a＝﹣2， ∴A（﹣2，﹣6）

∵点A（﹣2，﹣6）在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝﹣2×（﹣6）＝12， 故答案为12．

15．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部 分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为 48 ．



【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答． 解：连接AC、BD，如图所示：


∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝10，OB＝OD＝BD＝6，OA＝OC，AC⊥BD， ∴OA＝

∴AC＝2OA＝16，

∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×16×12＝96， ∵O是菱形两条对角线的交点， ∴阴影部分的面积＝×96＝48； 故答案为：48．

＝

＝8，



16．如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N，∠ACB＝45°，AN＝1，AF＝3，则EF＝ 2

．



【分析】连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E．由Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），推出AH＝CG，由Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），推出FH＝FG，由△AON≌△COF（ASA），推出AN＝CF，推出AN+AF＝FC+AF＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，由EF＝

FH，即可解决问题．

解：连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E．




∵∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴∠AEC+∠AFC＝180°， ∴A，E，C，F四点共圆， ∴∠AFE＝∠ACE＝45°， ∴∠EFA＝∠EFG＝45°， ∵EH⊥FA，EG⊥FG， ∴EH＝EG，

∵∠ACE＝∠EAC＝45°， ∴AE＝EC，

∴Rt△EHA≌Rt△EGC（HL）， ∴AH＝CG，

∵EF＝EF，EH＝EG，

∴Rt△EHF≌Rt△EGF（HL）， ∴FH＝FG， ∵AB∥CD， ∴∠OAN＝∠OCF，

∵∠AON＝∠COF，OA＝OC， ∴△AON≌△COF（ASA）， ∴AN＝CF，

∴AN+AF＝FC+AF＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH， ∵EF＝

FH，

EF．

∴AN+AF＝

∵AN＝1，AF＝3， ∴EF＝2

，


故答案为：2．

三、解答题（第17-19题6分，第20.21题各8分，第22.21题10分，第24题12分，第25题14分，共80分） 17．计算： （1）（（2）（

+

）×

+

；

．

）2﹣

【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据二次根式的加减法可以解答本题． 解：（1）（＝1+＝1+3（2）（＝3﹣2+2 ＝3． 18．解方程：

（1）（x﹣4）2﹣3＝0； （2）4（x﹣3）＝2x（x﹣3）．

【分析】（1）根据解一元二次方程的方法﹣直接开平方法解答即可； （2）根据解一元二次方程的方法﹣因式分解法解答即可． 解：（1）（x﹣4）2﹣3＝0， （x﹣4）2＝3， ∴x1＝

+4，x2＝﹣

+4；

； ）2﹣

+



+

）×



（2）4（x﹣3）＝2x（x﹣3）， （4﹣2x）（x﹣3）＝0， ∴x1＝2，x2＝3．

19．某射击队伍正在进行射击训练，现有两位选手的5次射击成绩如下所示： 甲：7环，8环，9环，8环，10环 乙：6环，9环，10环，8环，10环


（1）分别求甲、乙两位选手的射击成绩的中位数和众数；

（2）经过计算甲的方差为1.04环2，乙的方差为2.24环2．所以 甲 选手更加稳定． 【分析】（1）根据中位数、众数的计算方法进行计算即可； （2）通过比较方差，得出成绩的稳定，较好的选手即可． 解：（1）甲：7，8，8，9，10， 乙：6，8，9，10，10，

因此甲成绩从小到大排列处在中间位置的数是8，因此中位数是8， 乙成绩从小到大排列处在中间位置的数是9，因此中位数是9，

甲成绩出现次数最多的是8，因此众数是8，乙成绩出现次数最多的是10，因此众数是10，

（2）∵1.04＜2.24．即甲的方差小于乙的方差， ∴甲的成绩比较稳定，较好， 故答案为：甲．

20．如图，已知点A（2，m）是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连结OA，△ABO的面积为6． （1）求k和m的值；

（2）直线y＝2x+a（a≤0）与直线AB交于点C与反比例函数图象交于点E，F； ①若a＝0，已知E（p，q），则F的坐标为 （﹣p，﹣q） （用含p，q的坐标表示）；②若a＝﹣2．求AC的长．



【分析】（1）根据反比例系数k的几何意义求得k，得到反比例函数的解析式，代入A（2，m），即可求得m的值．

（2）①根据中心对称即可求得C点的坐标； ②求得C的坐标，即可求得AC的长．


解：（1）∵点A（2，m）是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，∴S△AOB＝|k|＝6， ∴|k|＝2×6＝12， ∵图象在第一象限， ∴k＝12， ∴反比例函数y＝

（x＞0），

∴2m＝12，解得m＝6；

（2）①若a＝0，则y＝2x是正比例函数，

∵直线y＝2x+a（a≤0）与反比例函数图象交于点E，F，且E（p，q）， ∴F（﹣p，﹣q）， 故答案为（﹣p，﹣q）；

②若a＝﹣2，则函数为y＝2x﹣2， 把x＝2代入得，y＝2， ∴C（2，2）， ∵A（2，6）， ∴AC＝6﹣2＝4．

21．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF． （1）求证：BE＝DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．



【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；（2）由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO＝∠FCO＝45°，BC＝CD；联立（1）的结论，可证得EC＝CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）垂直平


分EF；已知OA＝OM，则EF、AM互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ∵

，

∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL） ∴BE＝DF；

（2）解：四边形AEMF是菱形，理由为： 证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCA＝∠DCA＝45°（正方形的对角线平分一组对角）， BC＝DC（正方形四条边相等）， ∵BE＝DF（已证），

∴BC﹣BE＝DC﹣DF（等式的性质）， 即CE＝CF，

在△COE和△COF中，

，

∴△COE≌△COF（SAS）， ∴OE＝OF，又OM＝OA，

∴四边形AEMF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵AE＝AF，

∴平行四边形AEMF是菱形．

22．疫情结束后，某广场推出促销活动，已知商品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该商品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．【销售利润＝销售总额﹣进货成本】．

（1）若该商品的的件单价为43元时，则当天的售商品是 250 件，当天销售利润是 3250 元；


（2）当该商品的销售单价为多少元时，该商品的当天销售利润是3450元． 【分析】（1）根据当天销售量＝280﹣10×增加的销售单价，即可求出结论； （2）设该纪念品的销售单价为x元（x＞40），则当天的销售量为[280﹣（x﹣40）×10]件，根据当天的销售利润＝每件的利润×当天销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；

解：（1）280﹣（43﹣40）×10＝250（件），当天销售利润是250×（43﹣30）＝3250（元）．

故答案为：250，3250；

（2）设该纪念品的销售单价为x元（x＞40），则当天的销售量为[280﹣（x﹣40）×10]件，

依题意，得：（x﹣30）[280﹣（x﹣40）×10]＝3450， 整理，得：x2﹣98x+2385＝0， 整理，得：x1＝53，x2＝45．

答：当该商品的销售单价为45元或53元时，该商品的当天销售利润是3450元． 23．小王为探究函数y＝

（x＞3）的图象经历了如下过程．

（1）列表，根据表中x的取值，求出对应的y值，将空白处填写完整； x y

… …

3.5 6

4 3

4.5 2

5

5.5



6 1

… …

（2）以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点并画出函数图象； （3）结合由y＝（x＞0）图象到y＝

图象的变化，猜想由y＝

的图象经过向

x轴的负方向平移3个单位 的平移变化可以得到y＝（x≠﹣3）图象．y＝

（x≠﹣3）的对称轴是 直线y＝x﹣3与直线y＝﹣x+3 ．




【分析】（1）当x＝3.5时，y＝（2）描点描绘出以下图象，

＝6，同理当x＝5.5时，y＝；

（3）结合由y＝（x＞0）图象到y＝解：（1）当x＝3.5时，y＝故答案为6，；

（2）描点描绘出以下图象，

图象的变化和函数的图象即可得到结论．

＝6，同理当x＝5.5时，y＝，



（3）猜想由y＝≠﹣3）图象．y＝

的图象经过向x轴的负方向的平移3个单位可以得到y＝（x≠﹣3）的对称轴是直线y＝x+3与直线y＝﹣x﹣3．

（x

故答案为平移3个单位，直线y＝x+3与直线y＝﹣x﹣3．

24．（1）如图1，四边形ACDE中，△ABC与△BDE均为直角三角形，且AB⊥BE，∠BEA＝45°，求证：△ABC≌△BED．

（2）如图2，点A（1，2），连结OA，将射线OA绕点O按逆时针方方向旋转45°．得到射线OB，AC⊥OA交OB于点C，分别过点A，点C作x轴，AD的垂线，垂足分别为D，E，由（1）得 △AEC≌△ODA （填写两个三角形全等），所以CE＝ 2（或


AD） ，AE＝ 1（或OD） ，C的坐标为 （﹣1，3） ，则直线OB的解析式为 y＝﹣3x ．

（3）如图3，点A（3，3）在反比例函数y＝的图象上，B（0，2）作射线AB，将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象的另一支于点C，求点C的坐标．



【分析】（1）在△ABC和△BED中，∠BED＝∠ABC，∠EDB＝∠ACB，BE＝AB，即可求解；

（2）由（1）同理可得：△AEC≌△ODA（AAS），则CE＝AD＝2，AE＝OD＝1，C的坐标为（﹣1，3），即可求解；

（3）利用△AEF≌△FDB求出a＝1，则F（2，1），再求出直线AF的解析式，进而求解．

解：（1）∵AB⊥BE，∠AEB＝45°， ∴AB＝BE，

∵∠BED+∠EBD＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°， ∴∠BED＝∠ABC，

在△ABC和△BED中，∠BED＝∠ABC，∠EDB＝∠ACB，BE＝AB， ∴△ABC≌△BDE（AAS）；

（2）由（1）同理可得：△AEC≌△ODA（AAS）， ∴CE＝AD＝2，AE＝OD＝1，C的坐标为（﹣1，3）， 则直线OB的解析式为t＝﹣3x；

故答案为：△AEC≌△ODA；2（或AD）；1（或OD）；（﹣1，3）；y＝﹣3x；


（3）如图，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E， 则△ABF为等腰直角三角形，

根据（1）同理可得△AEF≌△FDB，设BD＝a，则EF＝a，



∵点A（3，3）和点B（0，2），

∴DF＝3﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a， ∵AE+OD＝3， ∴3﹣a+2﹣a＝3， 解得a＝1，

则OD＝2﹣1＝1，DF＝3﹣a＝3﹣1＝2， ∴F（2，1），

设直线AF的解析式为y＝kx+b，则∴y＝2x﹣3①，

把点A点坐标代入y＝并解得：k＝9， 故反比例函数的表达式为：y＝②，

，解得

，

联立①②并解得：（舍去）或，

∴C（﹣，﹣6），

故点C的坐标为：（﹣，﹣6）．

25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx+b（b≠0）分别与y轴，x轴交于A，B两点，点E，点G分别为AB，OE中点，点A，B关于点G的对称点分别为C，D，则称四边形ABCD为直线AB的伴随四边形，直线CD为直线AB的伴随直线．


（1）若伴随四边形为矩形，则k＝ ±1 ；

（2）已知伴随直线为y＝﹣4x，四边形ABCD的面积为25，求直线AB的解析式； （3）如图2，连结CG，与x轴交于点H，若△BHC为等腰三角形且k＞0，求k的值．



【分析】（1）连接GB，GC，GA，GD，先求出OA＝|b|，OB＝|﹣|，由矩形的性质可得∠DAB＝90°，由三角形中位线定理可证∠GEB＝∠DAB＝90°，由线段垂直平分线的性质可得OA＝OB，即可求解；

（2）由中心对称的性质可证四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，S△ABO＝S平

行四边形ABCD

，可得k＝﹣4，×|b|•|﹣|＝×25，即可求解；

（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和两点距离公式可求解． 解：（1）如图1，连接GB，GC，GA，GD，




∵直线AB：y＝kx+b（b≠0）分别与y轴，x轴交于A，B两点， ∴点A（0，b），点B（﹣，0）， ∴OA＝|b|，OB＝|﹣|，

∵点A，B关于点G的对称点分别为C，D， ∴BG＝DG，CG＝AG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°， ∵BG＝DG，AE＝BE， ∴GE∥AD，

∴∠GEB＝∠DAB＝90°， ∵AE＝BE，OE⊥AB， ∴OA＝OB， ∴|b|＝|﹣|， ∴k＝±1， 故答案为：±1；

（2）如图，连接BG，DG，CG，AG，




∵直线AB：y＝kx+b（b≠0）分别与y轴，x轴交于A，B两点， ∴点A（0，b），点B（﹣，0）， ∴OA＝|b|，OB＝|﹣|，

∵点A，B关于点G的对称点分别为C，D， ∴BG＝DG，CG＝AG， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，S△ABO＝S平行四边形ABCD， ∴k＝﹣4，×|b|•|﹣|＝×25， ∴b＝±10，

∴直线AB的解析式为y＝﹣4x+10或y＝﹣4x﹣10；

（3）∵点E，点G分别为AB，OE中点，点A（0，b），点B（﹣，0），点O（0，0）， ∴点E（﹣

，），点G（﹣

，），

当HC＝HB时， ∵HC＝HB， ∴∠HBC＝∠HCB， 又BC∥OE， ∴∠HOG＝∠HGO， ∴OH＝HG， ∴OB＝GC＝AG，


∴（﹣∴k＝

）2+（

）2＝（﹣）2，

当BH＝BC时， ∵BH＝BC， ∴∠BCH＝∠BHC， ∵OG∥BC， ∴∠BCH＝∠HGO， ∴∠BHC＝∠HGO， ∴OH＝OG，

∴OB＝BH+OH＝BC+OG＝3OG， ∴9[（﹣∴k＝

）2+（）2]＝（﹣）2， ，

当CH＝CB时， ∵CH＝CB， ∴∠CHB＝∠CBH， ∵∠AOB＝90°，AE＝BE， ∴OE＝AE＝BE， ∴OE∥BC，BE∥OC， ∴四边形OCEB是平行四边形， ∴OC＝BE＝BC＝OE， ∴∠CBH＝∠COH，

∴∠COH＝∠CHB，与图形不符合， 故CH＝CB不成立， 综上所述：k＝

或k＝

．

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