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氢原子的能级与光谱
·爱因斯坦1905年提出光量子的概念后，不受名人重视，甚至到1913年德国最
著名的四位物理学家(包括普朗克)还把爱因斯坦的光量子概念说成是“迷失了
方向”。可是，当时年仅28岁的玻尔，却创造性地把量子概念用到了当时人们
持怀疑的卢瑟福原子结构模型，解释了近30年的光谱之谜。
§1 氢原子的能级与光谱
一、玻尔的氢原子理论
(一)玻尔的基本假设
1.定态假设：原子只可能处于一系列不连 续的能量状态E1, E2, E3,…。 处于这些状态的原子是稳定的，电子虽
作加速运动，但不辐射电磁波。
2.频率条件：原子从某一定态跃迁至另一
定态时，则发射(或吸
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收)光子，其频率满足
Ei h
h = Ei – Ef
Ef 玻尔在此把普朗克常数引入了原子领域。
(二)玻尔的氢原子理论 1.电子在原子核电场中的运动
(1)基本情况：核不动；圆轨道；非相对论。
(2) 用经典力学规律计算电子绕核的运动
·电子受力：
f = - 4 ( Ze 2 )
0 r
1
22
1 ( Ze
) = m( )
40 r2 r
2
·能量：
得
221 E = m - 1 ( Ze
40 r ) 2
Ze
E = -
80r
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2
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2.轨道角动量量子化条件
玻尔假定：在所有圆轨道中，只有电子的角动量满足下式的轨道才是可能的。
L = mr = n(h/2)
(n=1,2,…)
玻尔引进了角动量的量子化。
3.轨道和速度 ·rn = n2r1 ,
40h2 1 r1 = ( )( ) 2 Z ) me (玻尔半径
r1= 0.529 Å
· = /n ，
n
1
Ze 1 = 4h
0
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2
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可见, 随 n rn， n
4.能级---能量量子化 将 rn代入前面E式中，有
me Z
E = -[ 2 2 ] 2，(n = 1,2,3,…)
(40)2h n
42
En = E1/n
2
2
En = - Rhc/n
R：里德伯常数(见后) 基态能量： E1= -13.6 eV
可见， 随 n En，En
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*玻尔的理论是半经典的量子论：
对于电子绕核的运动，用经典理论处理；
对于电子轨道半径，则用量子条件处理。
★Niels Bohr荣获1922年Nobel Prize
(for the investigation of the structure
of atoms ,and of the radiation emanating from them)
玻尔在工作
玻尔 海森伯 泡利（自左至右）
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玻尔与五子
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·哥本哈根学派 在玻尔研究所里学术空气
很浓，玻尔演讲后与听众踊跃讨论(左上 图)。
·玻尔婉拒卢瑟福和普朗克的邀请，留在丹
麦工作。
“丹麦是我出生的地方，
是我的故乡，
这里就是我心中的世界
开始的地方。”
二、氢原子光谱
·在表面上完全不同的事物之间寻找它们的内在联系，这永远是自然科学的一个
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令人向往的主题。
·玻尔把当时人们持极大怀疑的卢瑟福模型、普朗克--爱因斯坦的量子化与表面
上毫不相干的光谱实验巧妙地结合起来，解释了近30年的光谱之谜--巴耳末
与里德伯的公式，并首次算出里德伯常数。 1.谱线波数
·当电子从能级Ei跃迁到能级Ef (Ei Ef) 时，发射光子的频率为
=
Ei - Ef
h
·相应的波数为
波数 = 1/ = /c
= R[ 1
2 - 1
n2 ]
f
ni
里德伯常数
( ni
R = ( 1 24
)( me ) 40 第 7 页4 共 26 h3页
c
nf )
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R = 1.097373 107 m-1 ·若Ei Ef则对应吸收光子。 2.光谱系
·赖曼系(紫外区)
由各 n态(n >1) n =1状态
= R[ 1
1
1 2 - 2 ]
n
( n = 2,3,…
4
0
3 -1.51eV
帕邢系
2
-3.39eV
巴耳末系 (红外)
(可见)
1
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n 赖曼系
-13.6eV
)
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·巴尔末系(可见区)
由各 n态( n > 2) n = 2状态
11 = R[ 2 - 2 ]2 n
( n = 3,4,… )
红6562.8Å
蓝4861.3Å
4340.5Å紫
·1853年瑞典人埃格斯特朗(A.J.Ångstrom)测得巴耳末系(红)线，Å即由此得来。
· 还有其它光谱线
赖曼系(紫外区)， nf = 1；(1914) 巴耳末系(可见光)， nf = 2；(1885) 帕邢系(红外区)， nf = 3；(1908)
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布喇开系(红外区)， nf = 4；(1922) 普芳德系(红外区)， nf = 5；(1924) 演示：原子光谱(惰性气体)
*玻尔的理论也有着一系列难以克服的困
难。正是这些困难，迎来了物理学的更
大革命。
三、量子力学对氢原子的处理
1.定态薛定谔方程 ·势函数
2
UZe
( r ) = -
40r
(中心力场)
·定态薛定谔方程
[-
h2
2m
2
+ U(r) ]
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= E
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分离变量
(r,,) = R(r)Y(,) 2.能级 可得
2me Z
E = -[ 2 2 ] 2，(n = 1,2,3,…)
(40)2h n
4
能量和主量子数 n有关
3.波函数
n,l,m(r,,) = Rn,l (r)Yl,m(,)
角量子数： l = 0, 1, 2, …, n-1
轨道磁量子数：m = 0, 1, 2, …, l
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电子运动状态和n, l, m有关
(尚未考虑自旋)
4.角动量量子化条件
L = l(l +1) h
l = 0, 1, 2,…,(n -1) 共可取n个值
·玻尔的量子化概念是正确的，但量子化
条件需修正。按量子力学，
(1) l的取值，可取0；
(2) L的大小与玻尔的假定不同。
这改动虽不大，但却是原则性的改动。
·经典力学中，角动量不能为零，否则意
味着电子将通过原子核所在位置。
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·量子力学中，角动量小意味着电子近核
的概率大。
5.电子的概率分布(电子云) (1)径向概率分布
在r～r +dr球壳内发现电子的概率为
径向概率分布
(n=1, l=0)
(n=2, l=1)
o r1
(n=3, l=2)
r2
r3
r
(2)角向概率分布
在(, )方向的立体角d中发现电子的
Z
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Z
Z
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概率
100
(参见有关教材)
四、角动量空间量子化
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在外磁场中角动量的取向也是量子化的 1.原子的磁矩
L
(1)电子的轨道磁矩 设电子在圆轨道
r
i
上运动，其磁矩为
l = i s = e(/2r)r2 = (er/2) =(e/2m )mr =(e/2m)L
·-e
l
l = -( e ) L
2m
(2)原子的磁矩(不考虑核磁矩时) ·单价原子：
原子的角动量 = 价电子的角动量
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原子的磁矩 = 价电子的磁矩 价电子的状态反映原子的状态。
2.磁矩与磁场的相互作用
具有磁矩的原处于磁场中时，和磁场有
相互作用能
W= - l B = - lBcos
实验表明：
W也是量子化的， 即 只能取某些特定值。
3.角动量的空间量子化
角动量L在空间特殊方向
(如外磁场B的方向，一般
第 16 页 共 26 页z B
l
z B
L
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沿z向)的投影 Lz只能取 特定值
Lz = ml h
(ml = l , l-1,……,-l+1 ,-l ) ml称轨道磁量子数(共 2l +1个取值) 如l = 2时,
L = l(l +1) h = 6
h
Lz = 2h, h , 0, -h, -2h
*轨道磁矩在磁场方向的投影 l z = -(e/2m)Lz = -(e/2m) ml h l z = -ml B
玻尔磁子(是轨道磁矩的最小单元):
eh
B = 2m
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B = 0.927410-23 J/T = 0.578810-4 eV/T
§2电子自旋
一、史特恩---盖拉赫实验
·1921年史特恩---盖拉赫进行的实验是对
原子在外磁场中取向量子化的首次直接观察，是原子物理学最重要的实验之
一。 1.装置
S1
S2
S
P
o
N
S
P
N
无磁场 有磁场
·原子(如H原子，当时是用Ag原子)在容
器O中加热成蒸汽(一般实验条件下，原
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子是处于基态)，经准直缝进入不均匀磁 场，然后落在照相底片P上。
·原子射线在P上分为上下对称的两条沉
积。 2.分析
·具有磁矩的原子在非均匀磁场中受力
dB
f = z ( d z )
z
·只有是量子化的，即角动量是空间量
子化的，才可能在P上有分立的沉积。
史特恩正在观测 银原子束通过非均匀 磁场时将分裂成两束
史特恩--盖拉赫实验的结果表明H原子
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在磁场中只有两个取向，有力证明了
原子在磁场中的取向是量子化的。
史特恩--盖拉赫实验是空间量子化的最直接的证明，它是第一次量度原子基态
性质的实验，且由此实验进一步开辟了原子束及分子束实验的新领域。
二、电子自旋的假设
1.史特恩---盖拉赫实验关于H原子的结果
空间量子化的理论无法解释
·由角动量空间量子化，当l一定时，m应
l
有2l+l个取值(奇数)，即原子在磁场中应 有奇数个取向。
·对 H、Li、Na、K、Cu、Ag、Au等原子
都观察到两个取向。
·给人启示：若要 2l+1为偶数， 只有 l为半整数，而轨道角动量量子数是不
可能为半整数的。
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2.电子自旋假设
· 1925年两位不到25岁的荷兰学生，乌仑贝克和高兹米特根据一系列实验
事实提出了大胆的假设：电子不是点电荷，它除有轨道角动量外，还有自
旋运动。
·自旋角动量：
S = s(s +1) h
自旋量子数s = 1/2
·自旋在特殊方向的投影：
z B
h/2
Sz = ms h
S
自旋磁量子数：
-h/2
ms = (1/2) ·自旋磁矩
s = -( e ) S
m
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★史特恩---盖拉赫实验的意义：
(1)证实了空间量子化；
(2)证实了自旋的存在。
★ 全面描写一个电子的运动状态需要5个量子数：
n, l, ml , s, ms
·提出电子象一个陀螺，能绕自身轴旋转，似乎无创造性可言(地球就既有公转
又有自转)。但提出任何电子都具有相同的角动量，且它们在z方向的投影只
取两个数值，这对经典物理是无法接受的。
·乌仑贝克和高兹米特的假设一开始就遭到很多人的反对(包括当时已闻名的
泡利)，以致使乌仑贝克和高兹米特想把已
写好的文章收回。但是，他们的导师已把
稿子寄出发表，并说：“你们还年青，有
些荒唐没关系”。后来的事实证明，电子
自旋的概念是微观物理学最重要的概念。
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§3 原子的壳层结构
一、原子中电子的四个量子数
描述原子中电子的运动状态需要一组量 子数(n，l，ml，ms )。
·主量子数 n=1, 2, 3, ……决定能量的主要
因素；
·角(轨道)量子数l = 0,1,2…(n-1) ，对能量
有一定影响；
L = l (l +1) h
·磁量子数，ml = 0,1, 2,…l, 引起磁场 中的能级分裂；
Lz = ml h
·自旋磁量子数，ms = 1/2，产生能级精细
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结构。
Sz = ms h
·另有自旋量子数，s =1/2 ，
自旋角动量
3 S = s (s +1) h = 2 h
因s只有一个取值，也可不计入量子数组合中。
二、泡利不相容原理 (Pauli exclusion
principle)
·泡利 1925 年提出：“一个原子内不可能
有四个量子数全同的电子”
·同一个n 组成一个壳层(K, L, M, N, O,
P…)，
·相同 n, l 组成一个支壳层(s, p, d, f, g,
h…)，
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一支壳层内电子可有(2l+1)×2种量子态， ∴主量子数为n的壳层内可容纳的电子数
为：
Zn= (2l + 1) 2 = 2n
l=0
n-1
2
三、能量最小原理
“电子优先占据最低能态”
经验规律：
( n + 0.7l ) 大→E大
例如： E 3，2 > E 4，0 (3d 态) (4 s态)
n
3
Ze K
l
2 3d 1 3p 0 3s 1 2p 0 2s
L M
2
n=1 n=2 n=3
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1 0 1s
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1945年诺贝尔物理学奖获得者—泡利 奥地利人
Wolfgang Pauli 1900-1958
泡利不相容原理
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/8741a267f4ec4afe04a1b0717fd5360cba1a8de1.html
2022-07-28
