向量公式大全

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向量公式

设a=x,y,b=x',y'; 1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则; AB+BC=AC;

a+b=x+x',y+y'; a+0=0+a=a;

向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：a+b+c=a+b+c; 2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减” a=x,y b=x',y' 则 a-b=x-x',y-y'. 4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣∣a∣; 当λ＞0时,λa与a同方向； 当λ＜0时,λa与a反方向； 当λ=0时,λa=0,方向任意;

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0;

注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0;

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩;

当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向λ＞0或反方向λ＜0上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向λ＞0或反方向λ＜0上缩短为原来的∣λ∣倍;

数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：λab=λab=aλb;

向量对于数的分配律第一分配律：λ+μa=λa+μa. 数对于向量的分配律第二分配律：λa+b=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b;② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ; 3、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b;作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积内积、点积是一个数量,记作ab;若a、b不共线,则ab=|a||b|cos〈a,b〉；若a、b共线,则ab=+-∣a∣∣b∣; 向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'; 向量的数量积的运算律 ab=ba交换律；

λab=λab关于数乘法的结合律； a+bc=ac+bc分配律；


向量的数量积的性质 aa=|a|的平方; a⊥b 〈=〉ab=0; |ab|≤|a||b|;

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律,即：abc≠abc；例如：ab^2≠a^2b^2; 2、向量的数量积不满足消去律,即：由 ab=ac a≠0,推不出 b=c; 3、|ab|≠|a||b|

4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b; 4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积外积、叉积是一个向量,记作a×b;若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系;若a、b共线,则a×b=0; 向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积; a×a=0;

a‖b〈=〉a×b=0; 向量的向量积运算律 a×b=-b×a；

λa×b=λa×b=a×λb； a+b×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的; 向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ① 当且仅当a、b反向时,左边取等号； ② 当且仅当a、b同向时,右边取等号;

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣; ① 当且仅当a、b同向时,左边取等号； ② 当且仅当a、b反向时,右边取等号; 定比分点

定比分点公式向量P1P=λ向量PP2

设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点;则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比; 若P1x1,y1,P2x2,y2,Px,y,则有

OP=OP1+λOP21+λ；定比分点向量公式 x=x1+λx2/1+λ,

y=y1+λy2/1+λ;定比分点坐标公式

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式

在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 编辑本段向量共线的重要条件 若b≠0,则a

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