关于均值不等式求最值中的“定”条件

2023-03-28 17:20:24   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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关于均值不等式求最值中的“定”条件

覃卫平

日前,学生提到一个关于用均值不等式求最值问题,不知错在什么地方。

.求函数yx(43x)的最大值.

x43x2

解法1. yx(43x)2x

2

2

当且仅当x43xx1时取“= ∴当x1时,ymax2121.

113x43x4

解法2. yx(43x)3x(43x)

3323

2

当且仅当3x43xx时取“= ∴当x时,ymax.

424

解法3. yx(43x)4x3x3x

333

2

2

23

2343

∴当x时,ymax.

显然,解法1是错误的,学生不知错在什么地方,根据不等式

x43x2

ab2abx(43x)2x没有问题.不少学生也知

2

2

2

2

343

2

道,用均值不等式求最值时须有“一正二定三相等”,解法1不符合“定”的条件,但却不知为什么需要“定”这个条件,只能说是老师定的条件。

其实,考查一下函数f(x)x(43x)与函数g(x)2x2的性质就不难理解了.


x1是两个函数的唯

y

y2x

2

一的公共,f(1)g(1)xRx1

2

f(x)g(x);当x[,1]时,

3

43

1 o 2

3

x

1 yx(43x)

函数f(x)x(43x)与函数

222

g(x)2x均为减函数,故仍有f(x)maxf所以,f(1)g(1)g

33

不是f(x)x(43x)的最大值.

而解法2中的是定值,与x无关,∴当x时,就有ymax.

4

3

23

43


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