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关于均值不等式求最值中的“定”条件
覃卫平
日前,学生提到一个关于用均值不等式求最值问题,不知错在什么地方。
例.求函数yx(43x)的最大值.
x43x2
解法1. yx(43x)2x
2
2
当且仅当x43x即x1时取“=”, ∴当x1时,ymax2121.
113x43x4
解法2. yx(43x)3x(43x),
3323
2
当且仅当3x43x即x时取“=”, ∴当x时,ymax.
424
解法3. yx(43x)4x3x3x,
333
2
2
23
2343
∴当x时,ymax.
显然,解法1是错误的,学生不知错在什么地方,根据不等式
x43x2
ab2ab知x(43x)2x没有问题.不少学生也知
2
2
2
2
343
2
道,用均值不等式求最值时须有“一正二定三相等”,解法1不符合“定”的条件,但却不知为什么需要“定”这个条件,只能说是老师定的条件。
其实,考查一下函数f(x)x(43x)与函数g(x)2x2的性质就不难理解了.
x1是两个函数的唯
y
y2x
2
一的公共点,即f(1)g(1),当xR且x1时,总有
2
f(x)g(x);当x[,1]时,
3
43
1 o 2
3
x
1 yx(43x)
函数f(x)x(43x)与函数
222
g(x)2x均为减函数,故仍有f(x)maxf所以,f(1)g(1)g,
33
不是f(x)x(43x)的最大值.
而解法2中的是定值,与x无关,∴当x时,就有ymax.
4
3
23
43
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