关于均值不等式求最值中的“定”条件

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关于均值不等式求最值中的“定”条件

覃卫平

日前，学生提到一个关于用均值不等式求最值问题，不知错在什么地方。

例.求函数yx(43x)的最大值.

x43x2

解法1. yx(43x)2x

2

2

当且仅当x43x即x1时取“=”， ∴当x1时，ymax2121.

113x43x4

解法2. yx(43x)3x(43x)，

3323

2

当且仅当3x43x即x时取“=”， ∴当x时，ymax.

424

解法3. yx(43x)4x3x3x，

333

2

2

23

2343

∴当x时，ymax.

显然，解法1是错误的，学生不知错在什么地方，根据不等式

x43x2

ab2ab知x(43x)2x没有问题.不少学生也知

2

2

2

2

343

2

道，用均值不等式求最值时须有“一正二定三相等”，解法1不符合“定”的条件，但却不知为什么需要“定”这个条件，只能说是老师定的条件。

其实，考查一下函数f(x)x(43x)与函数g(x)2x2的性质就不难理解了.


x1是两个函数的唯

y

y2x

2

一的公共点,即f(1)g(1)，当xR且x1时，总有

2

f(x)g(x)；当x[,1]时，

3

43

1 o 2

3

x

1 yx(43x)

函数f(x)x(43x)与函数

222

g(x)2x均为减函数，故仍有f(x)maxf所以，f(1)g(1)g，

33

不是f(x)x(43x)的最大值.

而解法2中的是定值，与x无关，∴当x时，就有ymax.

4

3

23

43

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