介绍几个古典的数学问题

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古典的数学问题

1、三个古典的几何问题

问题一、二倍立方体。求一立方体的棱长，使它的体积是已知立方体的体积的两倍。 问题二、三等分一个已知角。

问题三、化圆为方。求一正方形的边长，要它的面积等于已知圆的面积。

以上每个问题都限于用直线和圆去构图解决，即据欧几里德几何学去解决。圆规的两脚必须要开多宽就能多宽，直尺要多长就有多长，并且直尺上不许有刻度。尽管到了公元1882年，这三个问题都被证明为不可能作出的，但这几个问题在近二千年来一直激励着人们去追求数学的思想。 2、毕达哥拉斯定理（勾股定理）

有一个数学定理是每一个人在学校都要学习的。这个定理就叫毕达哥拉斯定理。这个定理的内容是：对于一个直角三角形，两个直角边边长的平方和等于斜边边长的平方。存在3个边的边长都是整数的直角三角形，其中最有名的是3个边的边长分别是3、4、5的直角三角形。其实这就是我们平时所说的勾股定理。其证明的 方法有很多，以下给出一个简便的证明方法。

证明一：对于一个边长为3和4的直角三角形，其斜边为5。 取4个直角边长为3和4的直角三角形，如右图所示组成一个 正方形。四个三角形的面积为24个平方单位，内部的正方形 面积为1个平方单位。从而大正方形面积为25个平方单位， 它表明直角三角形斜边为5，且32+42=52 问题得证。 3、黄金分割

我们知道，满足黄金分割的矩形物件（如窗户、书本）的外形会使人感到美观大方、赏心悦目。在中世纪，黄金分割被作为美的象征几乎渗透到了建筑和艺术的各个部分。例如据说人体雕塑的上半身和下半身的长度，如果满足黄金分割比，就最优美。在意大利文艺复兴时期画家波提切利的名画《维纳斯的诞生》中，后人在其中发现了至少七个黄金分割。在现代，黄金分割在优选法中有着重要的应用。所谓黄金分割是这样一种分割：一个内点把一条线段分为一短一长两部分，使它们的长度满足这样的关系：短﹕长=长﹕全。这个比例式中的“短”和“长”分别指内占把线段分成的短线段和长线段的长度，而“全”指整条线段的长度。 4、曹冲称象与阿基米德检验皇冠

在大约1700年前，我国正处于三国时期。一天，有人送给魏国国君曹操一只大象。曹操想知道这只大象有多重，就对满朝文武问道：“谁能称出这只大象的重量？”结果无人作声，因为谁也找不到大得足以称象的秤。曹操的儿子曹冲当时只有七岁，当他听说了此事之后，对他父亲说：“爸爸，只要你给我一只大船，再给我足够多的石块，我就能称出大象的重量。”曹操非常惊奇，但是他还是命令手下的人按照曹冲的要求去作准备。大船和石块准备好了以后，曹冲让人把大象牵到了船上。这只大象非常重，它使船下沉了很多。曹冲在船帮上作记号，记下了水面的高度，然后让人把大象牵上岸。接着，他又让人把石块往船上搬。搬上船的石块越多，船下沉得越历害。曹冲又让人把船上的石块搬下来，一块一块地称它们的重量，并且全部加起来。他就是用这样的方法称出了大象的重量。

古希腊的一位国王想给自己制一顶纯金的皇冠。金匠把制好的皇冠献给国王以后，国王很想知道这顶皇冠是否是纯金制造的。于是国王便把阿基米德召来，要他检验一下这顶皇冠是不是用纯金子制造的，但条件是不许损坏皇冠一丝一毫。阿基米德想了很长


时间，仍然没有找出解决问题的办法。一天，阿基米德在浴盆里洗澡，水放得太满了，身体浸入水中之后，水溢出了不少。正是这些溢出的水，启发了阿基米德。他马上拿来一只盛满水的容器，将皇冠放入水中，容器中的水开始向外溢出，他把溢出的水盛入一个容器中，然后，他把一块与皇冠同样重的纯金放入盛满水的容器中，也把溢出的水收集起来。他把这两次溢出的水进行比较，发现第二次溢出的水比第一次少。如果皇冠是纯金制成的，那么两次排出的水应该一样多。可是实际上两次排出的水不一样多，皇冠排出的水比纯金排出的水多，这说明皇冠有一些比重与纯金的比重不同的材料，所以皇冠不是纯金制成的。金匠因此受到了惩罚。 5、鸡兔同笼

中国古代问题中的鸡兔同笼问题（也叫龟鹤问题）很有趣。鸡是有两只脚，兔有四只脚。这种题目通常是已知总头数及总足数，求鸡兔各有几只。如有这样一道题：鸡兔同笼，共有72头200足，问：鸡兔各有多少只？这类问题有很多种求解方法。

解法一：显然，如果72只全是鸡的话，共有144只脚。因为已知是200只脚，比144多了56，故要增加56只脚，而把其中的28只鸡变成兔的话，就会增加56只脚。因而有28只兔；又如果72只全是兔的话，则有288只脚。因为已知是200只脚，比288少了88，故要减少88只脚,而把其中的44只兔变成鸡的话，就会减少88只脚。即共有44只鸡。

解法二：如果把笼里的鸡和兔的脚都变成原来的一半，则200只脚就变成了100只，而只有72只头，故应该有28只兔。

解法三：设笼中有x只鸡、y只兔，则依题意可得方程组x+y=72；2x+4y=200。代入消元即可解得x=44,y=28。 6、物不知其数问题

问题出自1600年前中国古代名著《孙子算经》。原题为：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件的数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？这个个问题较简单：用3除余2，用7除也余2，而用21除也余2，所以用21除余2的数我们首先就会想到23；而23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。题目简单的原因是由于有被3除和被7除的余数相同这个特殊性。如果我们把问题改变一下就变得不那么简单了，也更有趣得多。如：“韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？”这个问题早在明朝就有人开始研究了。当时有个数学家叫程大位，在他著的《算法统宗》中就用四句很通俗的口决暗示了此题的解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。 7、七巧板

19世纪最流行的谜题之一就是中国的七巧板。七巧板的流行大概是由于它结构简单、操作容易、明白易懂的缘故。你可以用七巧板随意地拼出你自己设计的图样，但如果你想用七巧板拼出特定的图案，那就会遇到真正的挑战。因为它那 简单的结构，很容易使人误认为要解决它的问题也很容易。如右图， 将一个正方形纸片剪成七小块，就能做成了一副七巧板。这七小块分 别是五块等腰直角三角形一块正方形和一块平等四边形。1942年 《美国数学月刊》上发表了中国浙江大学两位作者的文章，证明了 用一幅七巧板拼成的凸多边形最多只有13种。七巧板甚到还可以 演示出证明勾股定理的过程。 8、哥尼斯堡七桥问题

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