一次函数图象与行程问题综合题

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一次函数图象与行程问题综合题




一次函数图象与行程问题综合题

1（期末考试题）：一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为(Km)，出租车离甲地的距离

为(Km)，客车行驶的时间为x (h)，与的函数关系如图1所示．

（ 1）根据图象直接写出，与x的函数关系



式；

（2）若设两车之间的距离为s (Km)，请写出s



关于x的函数关系式；

（3）甲乙两地间有M、N两个加油站，相距



200 Km，若客车进入M站加油时，出租车恰好进入N站加油，求M加油站到甲地的距离． 解：（1）由图1知，客车离甲地的距离与时间x成正比例函数关系（直线AB过原点），出租车离甲地的距离与时间x成一次函数关系（直线CD不过原点）．

故设＝x （0≤x≤10），＝x＋（0≤x≤6），将点（10，600）代入＝x，点（6，0）和（0，600）代入＝x＋，易求得，与x的函数关系









当0≤x≤时，－160x＋600＝200，∴x＝，此时，A加油站到甲地的距离为＝60x＝60×＝150(Km)； 当≤x≤6时，s＝160x－600＝200，∴x＝5，此时，A加油站到甲地的距离为＝60x＝60×5＝300(Km)；

当6＜x≤10时，s＝60x＝200，∵60x＞360，不合题意．

点评： 本题以行程为背景的一次函数应用题，用图象给出了相关信息，要解决此类问题，第一，必须读懂图象：1.两坐标轴表示的实际意义分别是什么（如本题的y轴上的点表示两车在该时刻与甲地的距离）？2．图象的每一段的实际意义是什么（如：本题的CE段表示出租车在相遇前离甲地的距离随时间x变化的函数图象，此段内每个点表示在该时刻出租车与甲地的距离）？3．图象的交点或拐点的实际意义是什么（如：本题的点E表示两车在此时相遇，此时两车与甲地的距离相等，即x＝时＝）？4．图象与两坐标轴的交点的实际意义是什么（如：本题的




C点表示出租车在乙地刚要出发驶往甲地的时刻，此时出租车离甲地600 Km）？第二，借助行程图，是解决此类问题的关键．只有这样，才能弄清每一过程中y与x的函数关系（如：本题中“相遇前”、“相遇后”等过程中的函数关系），从而各个击破．第三，应注意图象的各段对应的函数解析式中自变量的取值范围（如：本题的ED段对应的函数解析式为＝－100x＋600，其自变量的取值范围是≤x≤6）；第四，本题第（3）问M、N两个





加油站的位置是不确定的，但它们的距离恒为200 Km（如下图所示）．因此存在两种情形，即相遇前，客车进入M站时，出租车恰好进入N站；相遇后，客车进入M站时，出租车恰在此时好进入N站．

2. A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象．





（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；




（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度． 【答案】







，

（1）①当0≤≤6时，②当6＜≤14时， 设



． ∴

，



∵图象过（6，600），（14，0）两点，

∴（2）当

解得时，

∴





（千米/小时）．

3.在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为图所示．

、

（km），

、

与x的函数关系如



；



2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；

1）填空：A、C两港口间的距离为 km，

3）若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．【答案】解：（1）120，（2）由点（3，90）求得，

；



．



．

当＞0.5时，由点（0.5，0），（2，90）求得，当此时

时，

，解得，

．





．所以点P的坐标为（1，30）

该点坐标的意义为：两船出发1 h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30 km．





（km/h），乙的速度为

（km/h）．

求点P的坐标的另一种方法：由图可得，甲的速度为






则甲追上乙所用的时间为所以点P的坐标为（1，30）．

（h）．此时乙船行驶的路程为（km）．





．

（3）①当≤0.5时，由点（0，30），（0.5，0）求得，依题意，

≤10． 解得，≥．不合题意．

≤10．





②当0.5＜≤1时，依题意，解得，≥．所以≤≤1．③当＞1时，依题意，解得，≤．所以1＜≤．





≤10．









综上所述，当≤≤时，甲、乙两船可以相互望见．

4.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．

（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；



（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图像. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)（1.5，70）、（2，0），然后利用待定系数法，确定直线解析式即可．





，

【答案】（1）线段AB所在直线的函数解析式为：y＝kx＋b，



所以线段AB所在直线的函数解析式为：y＝－140x＋280，当x＝0时， y＝280，所以甲乙两地之间的距离280千米．

将（1.5，70）、（2，0）代入得：

，解得：

（2）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时，由题意得：






，解得：

以快车的速度为80千米/时，所以

．

，所





（3）如图所示．





5.某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．下图表示快递车距离A地的路程（单位：千米）与所用时间（单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．



(1) 请在下图中画出货车距离A地的路程（千米）与所用时间(时)的函数图象；







4

(2) 求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；

(3) 求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时． 1、图象入图 2

、

次 3）如图，设直线

的解析式为

，







∵图象过 图象过

，

，

①设直线，

的解析式为

，∵






②



解由①，②组成的方程组得最后一次相遇时距离





地出发8小时 、

两地相距10千米，

地.两班同时出

千米、

地的路程为100km，货车从

6.某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，甲班从

地出发匀速步行到

地，乙班从

地出发匀速步行到

发，相向而行.设步行时间为小时，甲、乙两班离千米，

、

地的距离分别为

与的函数关系图象如图所示，根据图象

解答下列问题：



、

与的函数关系式；

（1）直接写出



（2）求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离

地多少千米？





（3）甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时?





（小时）。

【答案】解：（1）y1=4x（0≤x≤2.5）,y2=-5x+10（0≤x≤2）

（2）根据题意可知：两班相遇时，甲乙离A地的距离相等，即y1=y2，由此可得一元一次方程-5x+10=4x,当x=

解这个方程，得x=

+10=



时，y2=--5×（千米）.



（小时）。

（3）根据题意，得y2 -y1=4.即-5x+10-4x=4.解这个方程，得x=答：甲乙两班首次相距4千米所用时间是

小时。





7.“震灾无情人有情”，玉树地震牵动了全国人民的心，武警某部队接到命令，运送一批救灾物资到灾区，货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度




匀速行驶，前往与A处相距360千米的灾区B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间关系：

行驶时间x（时）0



3 4

余油量y（升） 150 120 90 60 30

1

2

（1）请你用学过的函数中的一种建立y与x之间的函数关系式，说明选择这种函数的理由；（不要求写出自变量的取值范围）





（2）如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达灾区B处卸去货物后能顺利返回D处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内余油量应随时不少于10升）



【答案】解：（1）如图，把五组数据在直角坐标系中描出来，这五个点在一条直线上，所以y与x满足一次函数关系．设y＝kx＋b，（k≠0）





则



，∴y＝－30x＋150

解得：





．

（2）设在D处至少加W升油，根据题意得：



解得：W≥94





答：D处至少加94升油，才能使货车到达灾区B地卸物后能顺利返回D处加油．（说明：利用算术方法分段分析解答正确也给满分）

8、下表是西昌市到攀枝花市两条线路的有关数据：



路程

线路过路费



185千米 120千米

高速公路 250千米 0元

108国道












若小车在高速路上行驶的平均速度为90千米/小时，在108国道上行驶的平均速度为50千米/小时，则小车走高速公路比走108国道节省多少时间？



若小车每小时的耗油量为升，汽油价格为7元/升。问为何值时，走哪条线路的总费用较少？（总费用=过路费+耗油费）



公路管理部门在高速路口对从西昌市到攀枝花市五类不同耗油的小车进行统计，得到平均每小时通过的车辆数的频数分布直方图如图所示。请估算10小时年俄内这五类小车走高速公路比走108国道节省了多少升汽油？（以上结果均保留两个有效数字）【答案】









9.甲车从A地出发以60km/h的速度沿公路匀速行驶，0.5小时后，乙车也从A地出发，以80km/h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车。请建立一次函数关系解决上述问题。【答案】










10．甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习.图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S(km)随时间t(分)变化的函数图象.以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有( )



A.4个 B.3个 C.2个 D.1个







【答案】C

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