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第二节 广义积分的收敛判别法
上一节我们讨论了广义积分的计算， 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值。 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy收敛原理）（fx)在[a， +∞ )上的广义积分
a
f(x)dx
收敛的充分必要条件是：0, 存在A>0, 使得b, b〉A时，恒有
|bf(x)dx|
证明：对lim
bb
b/
f(x)dx0使用柯西收敛原理立即得此结论．
ba
同样对瑕积分f(x)dx（b为瑕点）, 我们有
定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理)设函数f(x)在［a,b)上有定义，在其任何闭子区间［a， b–]上常义可积，则瑕积分f(x)dx收敛
ab
的充要条件是: 0 , 0, 只要0</，就有
|bf(x)dx|
定义9。5如果广义积分|f(x)|dx收敛，我们称广义积分
a
b/
a
f(x)dx绝对收敛（也称（fx）在[a,+)上绝对可积］; 如f(x)dxa
收敛而非绝对收敛,则称条件可积．
由于A,A/a，均有 |Af(x)dx|
A/
a
f(x)dx条件收敛，也称f（x)在[a，+)上
A
A/
|f(x)|dx
因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分收敛．
它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子.
对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．
下面我们先介绍当被积函数非负时,广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：
定理9。4（无限区间上的广义积分）设在[a,+）上恒有
a
则广义积分f(x)dx必f(x)dx绝对收敛，
a
0f(x)k(x),（k为正常数）
则当(x)dx收敛时，
a
a
f(x)dx也收敛;
当
a
f(x)dx发散时，
a
(x)dx也发散．
证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立．
对瑕积分有类似的结论判别法
定理9.5 设f（x)， g（x） 均为［a,b）上的非负函数，b为两个函数的奇点,如存在一个正常数k， 使
0f(x)kg(x),x[a, b)， 则
1） 如g(x)dx收敛，则f(a)dx也收敛。
a
a
bb
2）如f(x)dx发散，则g(x)dx也发散．
a
a
bb
比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．
f(x)
l,定理9。6 如果（fx), g 且lim（x)是[a,+)上的非负函数，xg(x)
则
(1) 如果0l, 且
a
g(x)dx收敛， 则积分af(x)dx也收敛．
a
（2) 如果0l， 且证明：如果lim
x
则积分f(x)dx也发散． g(x)dx发散，
a
f(x)
l0,则对于0(l0)， 存在A， g(x)
f(x)
当xA时， 0ll
g(x)
即(l)g(x)f(x)(l)g(x)成立. 显然
a
f(x)dx与
a
g(x)dx同时收敛或同时发散，在l=0或 l=时，可类似地讨论。
使用同样的方法，我们有
定理9。7 对以b为唯一瑕点的两个瑕积分f(x)dx与g(x)dx如
aa 果f（x）, g （x) 是非负函数,且lim
xb
bb
f(x)
l,则 g(x)
ba
（1） 当0l， 且g(x)dx收敛时，则f(x)dx也收敛．
a
b
（2） 当0l，且g(x)dx发散时，则f(x)dx也发散．
a
a
bb
对无限区间上的广义积分中，取
a
1
dx作比较标准,则得到下列px
Cauchy判别法：设f（x）是[a，+)的函数，在其任意闭区间上可积，那么:
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2022-07-08
