向量知识点

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设a=（x,y）,b=(x',y'). 1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向； 当λ＜0时,λa与a反方向； 当λ=0时,λa=0,方向任意.

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为


原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.

数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

3、向量的的数量积

定义：两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'. 向量的数量积的运算率 a·b=b·a（交换率）；

（a+b)·c=a·c+b·c（分配率）； 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方. a⊥b 〈=〉a·b=0. |a·b|≤|a|·|b|.

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2. 2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.


3、|a·b|≠|a|·|b|

4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b. 4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0. 向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=0.

a∥b〈=〉a×b=0. 向量的向量积运算律 a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； （a+b）×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的

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