零极点位置对传输函数稳定性地影响

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数字信号处理实验报告

黎美琪 201300800610 通信工程2班 实验名称：零极点位置对传输函数稳定性的影响 一、实验目的 二、实验条件

Pc机、MATLAB 2013a 三、实验内容

画出所给例题的零极点、频率响应、单位脉冲响应、阶跃响应的图形,分析零极点位置对其产生的影响.

1.零点位置固定〔无零点〕,极点位置改变

a.H=z^<-2>/<1+0.2*z^<-1>+0.01*z^<-2>> b.H=z^<-2>/<1+0.6*z^<-1>+0.13*z^<-2>> ±

c.H=z^<-2>/<1-1.2*z^<-1>+0.36*z^<-2>> d.H=z^<-2>/<1-1*z^<-1>+0.5*z^<-2>> ±

e.H=z^<-2>/<1-1.15*z^<-1>+0.28*z^<-2>> f.H=z^<-2>/<1+1.7*z^<-1>+0.7625*z^<-2>> ±

g.H=z^<-2>/<1+1.8*z^<-1>+0.81*z^<-2>> h.H=z^<-2>/<1-1.6*z^<-1>+0.9425*z^<-2>> ±

1.将上述传输函数化为标准式后易得其分子、分母的系数向量〔z阶数从高到低〕： B=[0 0 1] A=[1 0.2 0.01] B=[0 0 1] A=[1 0.6 0.13] B=[0 0 1] A=[1 -1.2 0.36] B=[0 0 1] A=[1 -1 0.5] B=[0 0 1] A=[1 -1.15 0.28] B=[0 0 1] A=[1 1.7 0.7625] B=[0 0 1] A=[1 1.8 0.81] B=[0 0 1] A=[1 -1.6 0.9425]

2.在主页面框中输入fdatool,进入滤波器设计与分析的工具界面,将Filter Structure设置为Direct-Form II,将所得的系数向量分别填入Numerator〔分子〕和Denominator〔分母〕,点击相关工具栏图标得到所需要的图像如下： 析图像

负指数使得求零极点很困难,如果传输函数表示成标准式,如此容易计算.然而,计算零极点,并不一定要标准式,它只是使求根过程更加直接.

极点是传输函数分母为零时z的取值.零点是传输函数分子为零时z的取值.两者中,极点对数字滤波器特性影响最大.零点用来调整极点所引起的滤波特性,调整的大小取决于它与极点的相对位置.假如极点位于左半平面,如此脉冲响应正负交替；假如极点均位于单位圆内,如此脉冲响应趋于零,且极点越接近原点,脉冲响应达到零值所需的点数越少,即越快达到稳定. 在极点向原点移动的过程中,

.


频率响应达到零值所需的采样点数,即极点越靠近单位圆圆心,输出稳定越快.当极点位于左半平面时,频率响应的值正负交替,而在右半平面时如此不存在此现象.〔注意：有时极点虽在左半平面,但频率响应并非严格正负交替.这是因为采样频率不够大,没有恰好取到正负交替的点,而接连取到两个正值或负值,从而出现此现象.〕

±j0.55〕,零点位置改变

a.H=1/<1-1.6*z^<-1>+0.9425*z^<-2>> 零点：0,0

.H=<1-0.3z^<-1>>/<1-1.6*z^<-1>+0.9425*z^<-2>> c.H=<1-0.8z^<-1>>/<1-1.6*z^<-1>+0.9425*z^<-2>>

d.H=<1-1.6z^<-1>+0.8*z^<-2>>/<1-1.6*z^<-1>+0.9425*z^<-2>> ±

3.分析

极点是传输函数分母为零时z的取值.零点是传输函数分子为零时z的取值.两者中,极点对数字滤波器特性影响最大.零点用来调整极点所引起的滤波特性,调整的大小取决于它与极点的相对位置.零点越靠近极点,其对系统的影响越大,即脉冲响应的幅度减小,而远离极点时,其影响可以忽略.当零极点之间的距离逐渐减小时,频率脉冲响应的幅度减小.

补充：极点不在单位圆内时的情况

对照上面已有的图形易发现,如果滤波器的所有极点都在单位圆中,如此滤波器的稳定的,假如极点在单位圆外,如此滤波器是不稳定的〔从其响应趋于无穷大可以看出〕.

3.传输函数的频率响应三维表示

二维到三维转换的理论依据：脉冲响应的Z变换即为传输函数,再令Z=expΩ>,那么就可以得到传输函数在单位圆上的取值构成该系统频率响应. 实现频率响应三维表示的代码如下： %频率响应的三维显示 t=-8:0.02:8; x=cos; y=sin;

z=x+1i.*y; %z在单位圆上取值

H=<1+0.8.*z>./<1+0.2.*z>; %自己设置的传输函数 stem3>; %绘制三维幅度响应

图形显示如下：

图像分析:数字信号的频率Ω=<2*pi*f>/fs,当采样频率为fs时,根据那奎斯特采样

定理可知所能够复原的信号得最大频率应为fs/2,即Ω=pi.又代码中已经设置x=cosΩ,y=sinΩ,所以对应的变化X围为〔1,0〕~<-1,0>.按照此路径在上图中观察幅值的变化,即可发现此滤波器的高通特性.

.


4.编写代码实现由零极点与增益值画出系统函数的单位脉冲响应,单位阶跃响应与频率响应图. 代码：

定义阶跃函数 function f=ucT f= =0>;

整体代码

%zp2tf %给零极点出分子分母的系数 %z=[0.8]; %p=[0.2];

z=input<'z='>; %零点分布 p=input<'p='>; %极点分布 k=1; %增益,默认为1

[b,a]=zp2tf %由零极点分布得系统函数的系数 sys=tf<[b],[a]> %写出系统函数的表达式 %figure

subplot<511>

rlocus %零极点分布图 subplot<512>

freqz %频率响应图〔幅度谱+相位谱〕 subplot<513>

impz;grid on

title<'系统脉冲响应h[n]'> %绘制系统单位脉冲响应 subplot<515> nx=0:50;

s=filter>; %求得系统阶跃响应序列 stem'fill'>,grid on

xlabel<'n'>,title<'系统阶跃响应g[n]'> %绘制系统阶跃响应

主页面输入：z=[0.8] p=[0.2]

结果显示：b =

a = sys = -------

Continuous-time transfer function. 图形显示：

零极点分布图：

传输函数的频率响应图： 系统脉冲函数和阶跃函数图：

分析：通过上述方法的研究可以发现,给定滤波器的增益与零极点,足以完全确定系统.因为极点均在单位圆内,所以系统稳定,脉冲响应h[n]趋于0,阶跃响应趋于常数.

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本文来源：https://www.wddqxz.cn/8579a2f787254b35eefdc8d376eeaeaad1f316cf.html