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不等式的性质应用
不等式的大小比较在高考中时常出现,它既可以单独作为一道选择填空题,也可以渗透到其他知识点里成为大题的一部分。本节介绍不等式大小比较的三种方法:作差法、作商法及特殊值法。 一、作差法:
作差法是对两个实数作差,通过对差的符号判断得比较大小的一种方法。如实数a,b,当ab0时,ab;当ab0时,ab;当ab0时,ab。其基本步骤是:作差->变形->判定符号->结论。
课堂例题:
例1:设a0,b0,m,nN*,比较amnbmn与ambnanbm的大小 参考答案:(amnbmn)-(ambnanbm)=(ambm)(anbn), 当ab0时,ambm,anbn,(ambm)(anbn)>0 当ab时,ambm,anbn,(ambm)(anbn)=0 当ba0时,ambm,anbn,(ambm)(anbn)>0 综上可知,amnbmnambnanbm.
不等式的大小比较方法二----作商法
作商法就是对两个实数作商,通过对商与1的比较判断大小的一种方法。如
aaa
实数a,b,当1时,ab;当1时,ab;当1时,ab。其基本步
bbb
骤是:作商->变形->与1比较->结论。
例2:设a0,b0,且ab,试比较aabb与abba的大小.
aabba
参考答案:baaabbba()ab,
abb
当ab0时,
a
aabbabb;
aa
1,ab0,()ab1, bb
当0ab时,
. a aabbabb
aa
1,ab0,()ab1, bb
综上可知,对于任意不相等的正数a,b都有aabbabba.
不等式的大小比较方法三----特殊值法
特殊值法是选取特殊值代入到不等式进行比较。此法多用在选择题中。 例3:若a,b,cR,ab,则下列不等式成立的是( )
11ab
2 B.a2b2 C.2 D.acbc c1c1ab
参考答案:C. 令a=1,b=-2,c=0代入A,B,C,D中,可排除A,B,D.
课后习题
A.
1.设a,bR,若ab0,则下列不等 式中正确的是( ) A.ba0 B.a3b30 C.ba0 D.a2b20 2.设a,b是非零实数,若ab,则下列不等式成立的是( )
2222
A.ab B.abab C.
11ba 22 D.ababab
3.若a1,0b1,则下列不等式中正确的是( )
ba
A.a1 B.b1 C.logab0 D.logba0 22
4.求证:ababab1
参考答案:
1:C. 令a2,b1,代入A,B,C,D中,可知A,B,D均错.
2:C. 当a2,b1时,易知A,D错误;当a1,b2,易知B错误. 3:C. 令a2,b1,代入可排除A,B,S.
22
4: 证明:ab(abab1)
1
(2a22b22ab2a2b2) 21
[(ab)2(a1)2(b1)2]0, 2
当且仅当ab1时,取“=”.
a2b2abab1
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