复数的几何意义及应用

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复数的几何意义

问题1：复数z的几何意义设复平面内点Z表示复数z= a+bi（a，b∈R），连结OZ，则点Z，OZ ，复数z= a+bi（a，b∈R）之间具有一一对应关系。

直角坐标系中的点Z(a,b)



复数z=a+bi

一一对应 一一对应

一一对应

向量O Z

问题2：∣z∣的几何意义若复数z= a+bi（a，b∈R）对应的向量是OZ，则向量是OZ的模叫做复数z= a+bi（a，b∈R）的模，|z|=0Z=| a+bi |=a2b2（a，b∈R）。 问题3：∣z1-z2∣的几何意义两个复数的差z1z2z所对应的向量就是连结Z1Z2并且方向指向（被减数向量）的向量,

dz1z2Z2Z1(x1x2)2(y1y2)2





(二)探索研究

根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设Z(x,y)以Z0(x0,y0)为圆心， r(r0)为半径的圆上任意一点, 则ZZ0r (r0)

（1）该圆向量形式的方程是什么 ZZ0r(r0) （2）该圆复数形式的方程是什么 zz0r (r0)

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（3）该圆代数形式的方程是什么 (xx0)(yy0)r(r0)

2．椭圆的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的和等于常数(大于Z1Z2)的点的集合(轨迹)


设Z(x,y)是以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点, 则ZZ1ZZ22a (2aZ1Z2)

（1）该椭圆向量形式的方程是什么 ZZ1ZZ22a (2aZ1Z2) （2）该椭圆复数形式的方程是什么 zz1zz22a (2aZ1Z2) 变式:以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为端点的线段

（1）向量形式的方程是什么 ZZ1ZZ22a (2aZ1Z2) （2）复数形式的方程是什么 zz1zz22a (2aZ1Z2) （三）应用举例

例1．复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4，

则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（ ）

（A） 双曲线 （B）双曲线的右支 （C）线段 （D）射线 答案：（D）一条射线 例2．若复数z满足条件z1，

求z2i的最值。

（数形结合法）由z1可知，z对应于单位圆上的点Z； z2i表示单位圆上的点Z到点P（0，2）的距离。

由图可知，当点Z运动到A（0，1）点时，z2imin1,此时z=i； 当点Z运动到B（0，-1）点时，z2imax3, 此时z=-i。 例3．已知z1、z2∈C ，且z11，

若z1z22i，则z1z2的最大值是（ ） （A）６ （B）５ （C）４ （D）３

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