椭圆知识点总结

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一、椭圆的定义：(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点F1、F2的距离和等于常数点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

2a(大于F1F2

）的

2c. (2) 椭圆的第二定

义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e，当0e1时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离. 椭

圆

定

义

的

表

达

式

：

PF1PF22a,2aF1F20. 1PF22a2aF1F20;MPPF

x2y2y2x2二、1. 椭圆的标准方程:焦点在x轴:221ab0；焦点在y轴:221ab0.

abab





a是长半轴长，b是短半轴长，即焦点在长轴所在的数轴上，且满足

a2b2c2.

2. 方程

Ax2By2CA、B、C均不为零，且AB表示椭圆的条件：上式化为

Ax2By2x2y2CC

1，1.所以，只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆；当

CCCCABAB

时，椭圆的焦点在x轴上；当

CC

时，椭圆的焦点在y轴上. AB

x2y2

三、椭圆的几何性质（以221ab0为例）

ab

x2y2

1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标x,y都适合不等式21,21，即xa,yb说

ab

明椭圆位于直线xa和题.

2. 对称性:关于原点、x轴、

yb所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问

y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

A1a,0、A2a,0、B10,b、B20,b.

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：4. 长轴、短轴：A1A2叫椭圆的长轴，是短半轴长.

5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比e

2

2

A1A22a,a是长半轴长；B1B2叫椭圆的短轴，B1B22b,b

c

ac0,0e1（2），a

2



RtOB2F2,B2F2OB2OF2

，即a

2

b2c2.这是椭圆的特征三角形，并且

cosOF2B2的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.

;..


.

当e接近于1时，c越接近于a，从而b从而b

a2c2

越小，椭圆越扁；当e接近于0时，c越接近于0，

a2c2

越大，椭圆越接近圆；当e0时，c0,ab，两焦点重合，图形是圆.

2b2

6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为

a

.

7.设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，当P、F1、F2三点不在同一直线上时，P、F1、F2构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：

PF1PF22a,F1F22c.



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