椭圆知识点总结

2023-02-17 10:08:21   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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.

一、椭圆的定义:(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点F1F2的距离和等于常数点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点;两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

2a(大于F1F2

)的

2c. (2) 椭圆的第二定

义:平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e,当0e1时,点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离.

















PF1PF22a,2aF1F20. 1PF22a2aF1F20;MPPF

x2y2y2x2二、1. 椭圆的标准方程:焦点在x:221ab0焦点在y:221ab0.

abab





a是长半轴长,b是短半轴长,即焦点在长轴所在的数轴上,且满足

a2b2c2.

2. 方程

Ax2By2CABC均不为零,且AB表示椭圆的条件:上式化为

Ax2By2x2y2CC

11.所以,只有ABC同号,AB时,方程表示椭圆;

CCCCABAB

时,椭圆的焦点在x轴上;当

CC

时,椭圆的焦点在y轴上. AB

x2y2

三、椭圆的几何性质(以221ab0为例)

ab

x2y2

1. 范围: 由标准方程可知,椭圆上点的坐标x,y都适合不等式21,21,即xa,yb

ab

明椭圆位于直线xa.

2. 对称性:关于原点、x轴、

yb所围成的矩形里(封闭曲线).该性质主要用于求最值、轨迹检验等问

y轴对称,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心。

A1a,0A2a,0B10,bB20,b.

3. 顶点(椭圆和它的对称轴的交点) 有四个:4. 长轴、短轴:A1A2叫椭圆的长轴,是短半轴长.

5. 离心率 1)椭圆焦距与长轴的比e

2

2

A1A22a,a是长半轴长;B1B2叫椭圆的短轴,B1B22b,b

c

ac0,0e12a

2



RtOB2F2,B2F2OB2OF2

,即a

2

b2c2.这是椭圆的特征三角形,并且

cosOF2B2的值是椭圆的离心率.3椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所在的坐标轴无关.

;..


.

e接近于1时,c越接近于a,从而b从而b

a2c2

越小,椭圆越扁;当e接近于0时,c越接近于0

a2c2

越大,椭圆越接近圆;当e0时,c0,ab,两焦点重合,图形是圆.

2b2

6.通径(过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦),通径长为

a

.

7.F1F2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,PF1F2三点不在同一直线上时,PF1F2构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知:

PF1PF22a,F1F22c.



;..


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