平行线等分线段定理及推论中位线定理(一)

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第七讲 平行线等分线段定理及推论 三角形和梯形的中位线定理

一、知识点和方法概述

1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形ACFD中，

，AD//CF

AB=BC

求证：DE=EF

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.

已知：在△ACF中，BE//CF，AB=BC 求证：AE=EF

2、三角形的中位线定理

三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 已知：如图，D、E分别为AB、AC的中点

求证：DE//BC，DE

1BC 2

3、梯形的中位线定理

梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。 已知：梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AB、CD的中点 求证：EF//AD//BC，EF

1

(ADBC). 2

4、和梯形中点有关的辅助线的作法：

二、例题

例1 如图，在直角梯形ABCD中，C90,AD//BC,ADBCAB,E是CD的中点，且AD=2，BC=8,求BE的长度.

法1：提示：过E作EF//BC，交AB于F，过B作BG//CD，交EF延长线于G. ∴四边形GBCE是平行四边形 ∵在直角梯形ABCD中，C90,AD//BC，AD=2，BC=8 ∴四边形GBCE是矩形 ∴ EG=BC=8 ∵E是CD的中点 ∴DE=EC ∴AF=FB

11

(ADBC)5 ∴GF=EG-EF=3 ∵ADBCAB ∴AB=10，BFAB5 22

∵在RtBGF中，G90

∴EF//BC,EF

∴ BG=4 ∴在RtBGE中，BE

BG2GE2428245.

（法2） （法3） （法4）

1


例2 如图，梯形ABCD中，AB//DC,M是腰BC的中点，MNAD于N。求证：梯形ABCD的面积等于MNAD.

例3 如图，直角梯形ABCD中，DC//AB,A为直角，EF是中位线，且CEEB,EGBC.求证：（1）

CDE≌CGE.(2)当ABC60时，AB2AE23EF2.

例4 如图，ABC中，ABAC，AE平分BAC，CEAE，G为BC边上的中点，求证：EG

1

(ABAC).

2

2

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