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第七讲 平行线等分线段定理及推论 三角形和梯形的中位线定理
一、知识点和方法概述
1、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 根据被截的两条直线的位置关系,可以分五种图形情况(如图1-图5):
推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰. 已知:在梯形ACFD中,
,AD//CF
AB=BC
求证:DE=EF
推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
已知:在△ACF中,BE//CF,AB=BC 求证:AE=EF
2、三角形的中位线定理
三角形的中位线:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 已知:如图,D、E分别为AB、AC的中点
求证:DE//BC,DE
1BC 2
3、梯形的中位线定理
梯形的中位线:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于底边,并且等于两底和的一半。 已知:梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是AB、CD的中点 求证:EF//AD//BC,EF
1
(ADBC). 2
4、和梯形中点有关的辅助线的作法:
二、例题
例1 如图,在直角梯形ABCD中,C90,AD//BC,ADBCAB,E是CD的中点,且AD=2,BC=8,求BE的长度.
法1:提示:过E作EF//BC,交AB于F,过B作BG//CD,交EF延长线于G. ∴四边形GBCE是平行四边形 ∵在直角梯形ABCD中,C90,AD//BC,AD=2,BC=8 ∴四边形GBCE是矩形 ∴ EG=BC=8 ∵E是CD的中点 ∴DE=EC ∴AF=FB
11
(ADBC)5 ∴GF=EG-EF=3 ∵ADBCAB ∴AB=10,BFAB5 22
∵在RtBGF中,G90
∴EF//BC,EF
∴ BG=4 ∴在RtBGE中,BE
BG2GE2428245.
(法2) (法3) (法4)
1
例2 如图,梯形ABCD中,AB//DC,M是腰BC的中点,MNAD于N。求证:梯形ABCD的面积等于MNAD.
例3 如图,直角梯形ABCD中,DC//AB,A为直角,EF是中位线,且CEEB,EGBC.求证:(1)
CDE≌CGE.(2)当ABC60时,AB2AE23EF2.
例4 如图,ABC中,ABAC,AE平分BAC,CEAE,G为BC边上的中点,求证:EG
1
(ABAC).
2
2
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