平面向量的数量积教学设计

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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

沿河民族中学数学组 阚辉

一、教材分析

在学习实数与向量的积的基础上，教材从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的重要性质。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。

二、学情分析和教学设想

在这节课之前已经学习了实数与向量的积的运算。善于探究的学生会想到向量与向量的积如何运算？强烈的求知欲使得学生对这一节的学习不会感到生疏。本节课是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义。根据诱思探究教学论和新课程改革的目标，教学方案从两方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和重要性质。通过本节探究性学习，抓住知识之间的逻辑关系，让学生尝试数学研究的过程。

三、教学目标

1.知识与技能：

（1）掌握平面向量的数量积的定义及其物理意义；

（2）使学生了解向量的数量积的重要性质。 2.过程与方法：

（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系； （2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别； （3）通过向量数量积的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法。 3.情感、态度与价值观：

激发学生兴趣，注重学生能力的培养，抓住知识之间的逻辑关系，培养学生的自主、合作、探究的能力，探索得成果，研究获得本质。利用多媒体课件为辅助手段，调动学生参与课堂的主动性和积极性。

四、教学重点、难点

重点：平面向量数量积的定义 难点：数量积的重要性质

五、教学方法：

探究式教学，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程

六、教学过程：

教学环节 课题引入

教学内容

以物理学中的做功为背景引入

问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响功的大小？如何精确给出数学中的定义？ 力做的功：W = |F||s|cos， 是F与s的夹角

师生互动 设计意图

教师提出问题，学生思考

由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系

b



a


问题：给一个精确定义

问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算 一、两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角

教师引导学生， 注意： 1.两向量必须同起点； 2.的取值范围；

让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性。 说明：（1）当θ＝０时，a与b同向；

定义（2）当θ＝π时，a与b反向； 形成

（3）当θ＝



2

时，a与b垂直，记a⊥b； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围为0≤≤180

C

二、平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量

|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π），规定0与任何向量的数量积为0

三、向量投影的定义： 作图





定义：|b|cos叫做向量b在a所方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时正射影为0；当 = 0时投影为|b|；当 = 180时投影为|b|



3.数量积的定义公式形式； 4.注意特殊向量零向量。 学生主导发现问题，教师引导提出和解决问题。 注意：投影是可正可负可为零的。



教学中，学生不太容易理解的，也不经常用到的概念，变作例题形式有利于加深印象


问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特 殊情况）

结论：两个向量的数量积的性质：



设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量



定义1、ea = ae =|a|cos 2、ab ab = 0

深化 3、 aa = |a|2

或|a|aa

4、cos =

ab

|a||b|5、|ab| ≤ |a||b|







例1、 已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角是120o，求a·b

例2、 已知a1,b2;(1)a//b,求ab;

(2)34,求ab;

应用练习1、已知｜a｜＝３，｜b｜＝６，当①a∥b，②a⊥b

举例

③a与b的夹角是60°时，分别求a·b

练习２、判断正确与错误

1．若a=0，则对任一向量b，有a·b =0;2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0;3．若a≠0，a·b=0，则

b=0;4．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0;5．若a≠0，

a·b= b·c，则a=c;6．若a·b=a·c,则b≠c,当且仅

当a= 0 时成立;7．对任意向量 a有a2

|a|2

练习：P106 练习1.2.3（分组做）

七、课堂小结

1.平面向量的数量积的定义、性质及相关注意事项； 2.向量投影的定义；

3.平面向量的数量积的重要性质。

八、作业： P108 习题A组---1、2





学生自己回顾、探索、根据已有知识得到问题的答案



学生自己动手简单应用以及总结数量积的运算规律（类比多项式的运算）



养成学生自己动脑、动手探索总结的习惯



让学生由理论到实际操作，逐步熟悉、深入

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