九年上第22章 一元二次方程单元专题整合(含答案)

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章末专题整合

专题一、用适当的方法解一元二次方程

例1．用换元法解方程(x1)2x10．

解析：本题所给的一元四次方程，将x1看做一个整体，进行换元降次为一元二次方程，设x1y，构成关于y的一元二次方程．

222

答案：设x1y，则原方程化为y2y30，解得y11，y23．当y1时，x11，x0；

2

2

2

22

y3时，x213，x2，所以，原方程的解为x10，x22，x32．

222

智慧背囊：把x1视为整体设作y，并把2x1拼凑为2(x1)32y3，较好地体现了整体换元的数

学思想，这在解题时经常用到．

xx

活学活用：用换元法解方程280．

x1x1





2

专题二、一元二次方程根的判别式的作用

例2．已知一元二次方程x3xm10．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．

解析：（1）由b4ac0列不等式求解；（2）由b4ac0列方程求解．

2

2

2

b4ac(3)41(m1)94m4134m0，答案：（1）∴m

∴m

22

132

ac134m0．（2）∵b4

4

，

13932

，此时方程为x3x0．解得x1x2． 442

222

智慧背囊：一元二次方程axbxc0(a0)，当b4ac0时，方程有不相等的两个实数根；当b4ac0

2

时，方程有相等的两个实数根；当b4ac0时，方程没有实数根．

活学活用：试证明方程mx(m6)x30必有实数根．

2

专题三、一元二次方程根与系数的关系

例3．已知x1，x2是方程x2x20的两个实数根，不解方程求下列各式的值： （1）x2

2

211

． ；（2）

x1x2x1

解析：不解方程就是要求把待求式子进行变形，用x1x2，x1x2表示，利用根与系数的关系求值．

2

答案：∵x1，x2是方程x2x20的两实根，∴x1x22，x1x22．

（1）

x2

2

2x1x22220x1x12

．（2）

11x1x2x1x2x2x1

x2x1x1x222

，∵

(x2x1)2x1x24x1x2224212，∴x2x123，


∴

11233． x2x12

智慧背囊：解这类问题的关键是把所求代数式用x1x2，x1x2来表示．涉及二次根式运算时，一定要注意二次根式的运算和化简的条件．

活学活用：已知a，b满足a22a，b22b，且ab，求

2

2

ba

的值． ab

专题四、一元二次方程与几何的综合应用

例4．如图，△ABC中，∠B90o，BC8cm，AB6cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒钟可使△PBQ的面积等于8cm2？此时P，Q各在何处？

解析：设经过x秒△PBQ的面积为8cm2，用x表示PB和BQ，以三角形面积的计算公式作等量关系列方程求解．

答案：设经过x秒△PBQ的面积为8cm2，则PB6x，BQ2x．依题意有

12

0，即x6x8(6x)2x8，

2

解得x12，x24．经过2秒时，点P在离点A 122cm处，点Q在离点B 224cm处，S△PBQ8cm2；经过4秒时，点P在离点A 144cm处，点Q在离点B 248cm处，S△PBQ8cm2．

智慧背囊：本题属动态几何题，解这类问题的关键是“动中求静”，即把某一时刻看做不动，根据几何知识建立方程求解．

活学活用：如图，将矩形ABCD（ABAD）沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F，若AB4，BC8，求DF的长．







参考答案



专题一、活学活用．x1

2

24，x2． 33

2

2

专题二、活学活用．b4acm643mm360，方程必有实数根． 专题三、活学活用．4．

专题四、活学活用．DF5．

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