2014年五年级暑假第4讲-余数的三大定理(教师版)

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第四讲 余数的三大定理







一、带余除法的定义及性质

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

(1)当r0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当r0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型: 如图



这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.



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2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)



例题1

【提高】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．

【分析】1013121001，100171113，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。

【精英】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 【分析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”

转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。

本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.

例题2

【提高】两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．

（415488）（41）79，【分析】因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为

所以，被除数为7948324。

【精英】一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________.

【分析】设这个自然数除以11余a(0a11)，除以9余b(0b9)，则有11aa93bb，即3a7b，只有a7，b3，所以这个自然数为12784。



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例题3

【提高】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．

【分析】两个顾客买的货物重量是3的倍数．(151618192031)(12)119339...2，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20千克．

【精英】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______． 【分析】(70110160)50290，50316......2，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，110581......52，5250，所以除数不是58．70292......12，110293......23，

160295......15，12231550，所以除数是29



例题4

【提高】【精英】22003与20032的和除以7的余数是________．

【分析】找规律．用7除2，22，23，24，25，26，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2

的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为22003236672，所以22003除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以20032除以7余1．故22003与20032的和除以7的余数是415．



例题5

【提高】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？

【分析】所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为1186751和673334

的公约数，所求答案为17．

【精英】若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．

【分析】设除数为A．因为2836，4582,5164，6522除以A的余数相同，所以他们两两之差必能被A

整除．又因为余数是两位数，所以A至少是两位数．51644582582，652251641358，因为(582,1358)194，所以A是194的大于10的约数．194的大于10的约数只有97和194．如果A194，238619414120，余数不是两位数，与题意不符．如果A97，经检验，余数都是23，除数余数9723120．

例题6

【提高】有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前



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2009个数中，有几个是5的倍数？

【分析】由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．

所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……

可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数． 由于200954014，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．

【精英】设n为正整数，k2004n，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值． 【分析】2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以2n被7除余数为2，被11除余数为3．

由于212被7除余2，而238被7除余1，所以n除以3的余数为1；

由于28256被11除余3，2101024被11除余1，所以n除以10的余数为8． 可见n2是3和10的公倍数，最小为3,1030，所以n的最小值为28．

例题7

【提高】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.

【分析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据

同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556，594514，(56,14)14，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。

【精英】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？

【分析】由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33．所以所求的数为(543345)336．

例题8

【提高】若a为自然数，求a2005a1949的个位数．

【分析】1025，由于a2005与a1949的奇偶性相同，所以2(a2005a1949)．a2005a1949a1949(a561)，如果a

能被5整除，那么5a1949(a561)；如果a不能被5整除，那么a被5除的余数为1、2、3或者4，a4被5除的余数为14、24、34、44被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这

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(a)，四个数除以5均余1，所以不管a为多少，a4被5除的余数为1，而a5即14个a4相乘，

所以a56除以5均余1，则a561能被5整除，有5a1949(a561)．所以5(a2005a1949)．由于2与5互质，所以10(a2005a1949)．

20052005除以10所得的余数为多少？ 【精英】11223344

【分析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，

而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．

2020的个位数字， 首先计算11223344

为1476563690163656749094的个位数字，为4，

由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4100400的个位数即0，另

20022002、20032003、20042004、20052005，外5个数为20012001、它们和的个位数字是1476523

的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．





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练习1

用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．

92464314【分析】因为1992是a的46倍还多r,得到19924643......14，得1



，所以a43，r14．

练习2

用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．

【分析】n能整除639112925258．因为2538...1，所以n是258大于8的约数．显然，n不能

大于63．符合条件的只有43．





练习3

求478296351除以17的余数．

【分析】先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除

以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179......1．



练习4

有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

【分析】(法1) 39336，1473144，(36,144)12，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；

(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912，14739108，(12,108)12，所以这个数是4,6,12．



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练习5

著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？

【分析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数

定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列： 1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……

第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.



练习6

若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．

【分析】设除数为A．因为2836，4582,5164，6522除以A的余数相同，所以他们两两之差必能被A

整除．又因为余数是两位数，所以A至少是两位数．51644582582，652251641358，因为(582,1358)194，所以A是194的大于10的约数．194的大于10的约数只有97和194．如果A194，

238619414

120，余数不是两位数，与题意不符．如果A97，经检验，余数都是23，除数

余数9723120．





练习7

C的各位数字之和为D，设20092009的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，

那么D？

【分析】由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以20092009与A、B、C、D

除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与22009除以9的余数相同，而2664除以9的余数为1，所以2200926334526为5．

另一方面，由于20092009100002009108036，所以20092009的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过9803672324，即A72324；那么A的各位数字之和B9545，B的各位数

C小于18且除以9的余数为5，C的各位数字之和为5，字之和C9218，那么C为5或14，

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25除以9的余数为25除以9的余数，即

即D5．







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练习8

将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________． 【分析】本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．1～9共有9个数字，10～99共有90

902180 (个), 100～999共900个三位数，90032700 (个),个两位数，共有数字：共有数字：

所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602......2，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从

100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：

702978 (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27 ．





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