国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第17届)

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国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第17届）

1. 已知x1 >= x2 >= ... >= xn， 以及y1 >= y2 >= ... >= yn 都是实数，求证 若z1 ，z2 ，...，zn 是yi 的任意排列则有

∑(xi-yi)2 <= ∑(xi-zi)2

上式中左右两边的求和都是i从1到n．

2. 令a1 < a2 < a3 < ... 是一递增正整数序列，求证对所有i>=1，存在无穷多个 an 可以写成 an = rai + saj的形式，其中r，s是正实数且j > i．

3. 任意三角形ABC的边上，向外作三角形ABR，BCP，CAQ，使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度．求证角QRP是直角并且QR=RP．

4. 令A是将44444444写成十进制数字时的各位数字之和，令B时A的各位数字之和，求B的各位数字之和．

5. 判定并证明能否在单位圆上找到1975个点使得任意两点间的距离为有理数．

6. 找出所有两个变量的多项式P(x，y)使其满足： I. II.

对某一正整数n及所有实数t、x、y有P(tx， ty) = tnP(x， y)成立； 对所有实数x、y、z有

P(y + z， x) + P(z + x， y) + P(x + y， z) = 0;

III.

P(1， 0) = 1．

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