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28届美国数学奥林匹克竞赛
zion(翻译)
第一部分(上午9:00-12:00) 1999年4月27
1. n×n的方格棋盘上放着一些棋子,满足如下两个条件: (a) 放有棋子的方格和没有放棋子的方格有一条公共边。
(b) 任意给定两个放有棋子的方格,可以标出一条路线,从其中一个给定的方格出发,经过所有放有棋子的方格,最后到达另一个给定的方格。如图:
求证:棋盘上至少有(n-2)/3个棋子。
2. 求证:对于循环四边形ABCD有:|AB-CD|+|AD-BC|≥2|AC-BD|。 3. 已知:p是大于2的质数,整数a、b、c、d不能被p整除,
且有{ra/p}+{rb/p}+{rc/p}+{rd/p}=2 ,其中r是任一不能被p整除的整数。
求证:在(a+b)、(a+c)、(a+d)、(b+c)、(b+d)、(c+d)6个数中至少有两个能被p整除。
第二部分(下午1:00-4:00) 1999年4月27
4. 已知:实数a1a2 。。。an(n≥3)满足:a1+a2 +。。。+an≥n,a1+a2 +。。。+an≥n。 求证:max(a1a2 。。。an)≥2。
5. Y2K游戏:有2000千个方格排成一排,两个玩家轮流在方格里写S或O,谁先在连续的三个方格里写出SOS,谁就获胜;如果没有人写出算平局。
2
2
2
2
2
证明:后写的人有胜算。
6. 已知:等腰梯形ABCD,AB//CD,△BCD的内切圆与CD交于E点;F是∠DAC的平分线上一点,且EF⊥CD;△ACF的外接圆与CD交于C和G; 求证:△AFG是等腰三角形。 (右边是例图,或许有其他画法)
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