2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛_D题(抢渡长江)_论文

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抢渡长江 摘要

问题一，是渡河问题最简单的一种模型。由题意可知，渡河的合运动是一条直线，结合简单的几何关系运算，我们建立了一个简单的几何模型。对该几何模型适当变形即可得出问题一的模型，求解出参赛者的游泳速度，并且通过游泳速度确定出最佳的游泳路线。

问题二，与问题一的方法一样，对原几何模型适当变形得到问题二的模型，代值即可解出游泳者始终以固定方向游时，游泳者可到达终点的速度要求。

问题三，水流的速度分为了三段，每一段为一个固定的函数值，根据问题一的分析，该游泳路线应该是三条不同的直线组成的。所以此问采用分段计算求和的优化模型来解决，运用lingo软件编程求解出最佳的渡河角度。

问题四，实质是对问题三模型的推广，在该问中，水流速度是分段函数，我们用微积分的方法分别解出每一个阶段上的水平位移，再采用分段计算求和的优化模型来解决，运用lingo软件编程求解出最佳的渡河角度。

关键词：渡河问题 运动的合成与分解 微积分 优化模型 lingo软件




一、 问题重述

“渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。

2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8℃, 江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。

假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。

请你们通过数学建模来分析上述情况, 并回答以下问题:

1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明2002年第一名是沿着

起点: 武昌汉阳门 1160m

终点: 汉阳南岸咀 1000m 长江水流方向


怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。

2. 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。

3. 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向) ：

1.47米/秒，0米y200米

v(y)2.11米/秒，200米y960米

1.47米/秒，960米y1160米

游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。

4. 若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如

2.28

200y，0y200

v(y)2.28，200y960

2.28(1160y)，960y1160200

或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。

二、问题分析

问题一，是渡河问题最简单的一种模型。首先，水流的速度不变，而人渡河的方向以及速度也不会变，这说明渡河的合运动是一条直线。结合简单的几何关系运算，我们建立了一个简单的几何模型求解


出参赛者的游泳速度，并且通过游泳速度确定出最佳的游泳路线。最后我们得出结论：2002年第一名参赛时的游泳速度是1.5416米每秒，游泳方向是沿着与水流方向夹角为117.4558度方向，当游泳者的速度为1.5米每秒时，游泳者的最佳游泳方向是沿着与水流方向夹角为121.8548度方向，其成绩为910.4595秒。

问题二，则是运用问题一中的模型求解，解得游泳者始终以和岸边垂直的方向游时，游泳者的速度需要达到2.1924米每秒，才能在529.1005秒时到达终点。而游泳者的速度显然不可能达到2.1924米每秒，因此游泳者不能到达终点。

同样的，运用问题一中的模型我们分别解得在1934年的比赛制度和2002年的比赛制度下，能够成功到达终点的选手的速度要求分别为0.4385米每秒和1.4315米每秒，同时确定出了造成差异的原因是两次比赛赛程所确定的水平距离不同。

问题三，水流的速度分为了三段。每一段为一个固定的函数值，根据问题一的分析，该游泳路线应该是三条不同的直线组成的。所以，可以想到将第一问的模型分解为三段，然后求解出三段时间的最小和即为渡河的最佳成绩。所以此问采用分段计算求和的优化模型来解

1=3=126.0561度，决，运用lingo软件求解出了最佳的渡河角度：2 =118.0627度，最佳渡河时间为T=904.0228秒。

问题四，在对问题三模型的推广。在该问中，水流速度是分段函数，我们很自然的想到了用微积分的方法分别解出每一个阶段上的水平位移，然后再求解出三段时间的最小和即为渡河的最佳成绩。所以


此问仍然采用分段计算求和的优化模型来解决，运用lingo软件求解出了最佳的渡河角度：1=3=127.3619度，2 =114.5386度，最佳渡河时间为T=892.4776秒。

三、模型假设

1、假设在整个比赛过程中，江面都可以看作是一个平面，并且参赛者可以看作是一个质点。

2、假设参赛选手的成绩除了受水的流速外不受其他气象条件的影响

3、假设参赛者在比赛过程中游泳速度的大小和方向始终都保持不变，且为一个固定的常值。

4、在比较1934年与2002年的比赛成功率时，假定外部条件包括气象条件、水温、流速等均相同。

四、符号说明

L

H

起点站到终点站的位移，为常数1000米。 长江的固定水面宽度,为常数1160米。 参赛队员的游泳速度。

水流的流速，本文中为1.89m/s。

参赛队员的比赛成绩，即到达终点所用时间。 参赛队员游泳方向与水流方向的夹角。 各个不同区域水流的速度大小。

不同时间段内参赛者的竖直位移。

u

v

T

 vi

Hi Li

各时间段内参赛者的水平位移。

五、模型的建立与求解

1. 问题一模型的建立与求解：




图1

以水流方向为x轴正方向，武昌汉阳门垂直向上为y轴正方向，起点为坐标原点建立直角坐标系。根据题意和模型假设可知，如图1，水流速度为常数时，参赛者的运动轨迹应该是一条直线。则可根据几何关系，建立下面的关系式：

dx

ucosv,x(0)0,x(T)Ldt



dyusin,y(0)0,y(T)Hdt

(1)

要使(1)式有解，则有：

T

LH

 (2)

ucosvusin

由(2)式变形可得：

L

ucosvT

3 

usinHT

1) 将u和作为未知量求解(3)式得：

22LvTHu

TT 

L

arccosvuT



(4)


在问题一的第一小问中，2002年第一名的成绩是14分8秒，即T=848s。又已知河面宽H=1160m，水平位移L=1000m，水流速度v=1.89m/s，代入(4)式，通过matlab求解得：

u1.5416m/s，117.4558

即2002年第一名参赛时的游泳速度是1.5416米每秒，游泳方向则是沿着与水流方向夹角为117.46度方向。

2) 将T和作为未知量求解(3)式得：

Lv(u2H2u2L2v2H2)

Tv2u2

(5) 

arccosLvu

T

在问题一的第二小问中，游泳者的速度u=1.5m/s。又已知河面宽H=1160m，水平位移L=1000m，水流速度v=1.89m/s，代入(5)式，通过matlab求解得：

T910.4595s，121.8548

即游泳者的速度为1.5米每秒时，游泳者的最佳游泳方向是沿着与水流方向夹角为121.8548度方向，其成绩为910.4595秒。

2. 1)

问题二模型的建立与求解： 将T和u作为未知量求解(2)式得：

L

Tucosv

(6) 

Hu

Tsin

根据问题二中的条件可知，游泳者始终以和岸边垂直的方向游，即90。又已知河面宽H=1160m，水平位移L=1000m，水流速度


v=1.89m/s，代入(6)式，通过matlab求解得：

T529.1005s，u2.1924m/s

即游泳者始终以和岸边垂直的方向游时，游泳者的速度需要达到2.1924米每秒，才能在529.1005秒时到达终点。而游泳者的速度显然不可能达到2.1924米每秒，因此游泳者不能到达终点。

2)

在(5)式中，我们给出了关于T的表达式：

Lv(u2H2u2L2v2H2)

(7) T

v2u2

显然，选手能到达终点的充要条件是T存在实根，故有：

u2H2u2L2v2H20 (8)

即能够成功到达终点的选手的条件是其速度u满足下式：

uv

HHL

2

2

(9)

根据题目所给条件，1934年竞渡的直线距离为5000m，河面宽H=1160m，假设当时的水流速度v1.89m/s,代入(9)式，通过matlab求解得：

u0.4385m/s

即在此条件下，选手速度只要大于0.4385米每秒就能成功到达终点。

而对于2002年，河面宽H=1160m，水平位移L=1000m，水流速度v=1.89m/s，代入(9)式，通过matlab求解得：

u1.4315m/s

即在此条件下，选手速度要大于1.4315米每秒才能成功到达终点。


显然，1934年的比赛所确定的水平距离比2002年的比赛所确定的水平距离大得多，使得1934年的比赛对能够成功到达终点的选手的能力要求较低，而2002年的比赛对能够成功到达终点的选手的能力则要求较高，从而造成了1934年和2002年到达终点的人数的百分比有了如此大的差别。

3.

问题三模型的建立与求解



图2

根据题意和模型假设，我们可以依据水流的变化将游泳者竞渡的整个过程分为如图2所示的三段过程，则有以下关系：

Hi

Tiusin

i

Hi(ucosivi)

i1,2,3. (10) Li

usini



LLi

又由已知条件可知：


H12000200mH960200760m2

H31160960200m

L1000m

(11) 

v1

1.47m/s

v22.11m/sv31.47m/s

u1.5m/s将(11)式中各量的值代入(10)式中可得：

T2001

1.5sin

1

T7602

1.5sin

2T2003

1.5sin

3L200(1.5cos1+1.47) 1

1.5sin1

L760(1.5cos2+2.11)

2

1.5sin2

L200(1.5cos3+1.47)3

1.5sin3L1L2L3

1000



根据(12)式所给关系，我们可以建立以下优化模型，从而借助软件解决问题三：

目标函数：min TTi

LiS.T1000

 i2,

运用lingo软件求解上述优化模型得：

(12) lingo
Tmin904.0228s12.200094=126.0561



2=2.060583=118.06272.200094=126.05613

将所求得的角度值代入(12)式，即可得到：L1L396.8340m，

L2806.3319m。

L196.8340m

L2806.3319m L396.8340m

综合上述求解结果，我们知道在题目三的条件下，在第一阶段，游泳者的最佳游泳方向是沿着与水流方向夹角为126.0561度方向，在第二阶段，游泳者的最佳游泳方向是沿着与水流方向夹角为118.0627度方向，在第三阶段，游泳者的最佳游泳方向是沿着与水流方向夹角为126.0561度方向。

游泳者的最佳游泳路线为：首先，从起点处沿着与水流方向夹角为126.0561度方向向对岸游200米，然后，沿着与水流方向夹角为118.0627度方向向对岸游760米，最后，沿着与水流方向夹角为126.0561度方向向对岸游200米，到达终点。

游泳者的成绩为904.0228秒。 4.

问题四模型的建立与求解:

根据题意和模型假设，我们仍可以按照问题三的方法将游泳者竞渡的整个过程分为同样的的三段过程，则有以下关系：

dx

ucosvdt



dyusindt

(13)


由问题四所给的条件可知：

2.28

200y，0y200

v(y)2.28，200y960

2.28200

(1160y)，960y1160 将(14)式分阶段分别代入(13)式积分化简可得:

x2.28t2

1ucos1tusin1

2002x2ucos2t2.28t2.282.28t2 x3ucos3t

2001160t200usin32

THiiusin

i又由已知条件可知:

H1y1200m



H2y2960200760mH3y31160960200m

u1.5m/s L1x1,L2x2,L3x3

将(16)式代入(15)式求解得：

T2001

1.5sin

1

T2760

1.5sin

2T2003

1.5sin

3L200cos1152

1

sin1

L760cos21.527602

sin2



L

200cos31523sin3L1L2L3

1000



(14)

(15) (16) (17)
与问题三一样我们可以建立以下优化模型，从而借助lingo软件解决问题四：

目标函数：min TTi

Li1000S.T i,

2

运用lingo软件求解上述优化模型得：

Tmin892.4776s

12.222884=127.3619



2=1.999076=114.53862.222884=127.36193

综合上述求解结果，我们知道在题目四的条件下，在第一阶段，游泳者的最佳游泳方向是沿着与水流方向夹角为127.3619度方向，在第二阶段，游泳者的最佳游泳方向是沿着与水流方向夹角为114.5386度方向，在第三阶段，游泳者的最佳游泳方向是沿着与水流方向夹角为127.3619度方向。

游泳者的最佳游泳路线为：首先，从起点处沿着与水流方向夹角为127.3619度方向向对岸游200米，然后，沿着与水流方向夹角为114.5386度方向向对岸游760米，最后，沿着与水流方向夹角为127.3619度方向向对岸游200米，到达终点。

游泳者的成绩为892.4776秒。 5.竞渡策略短文

从古至今，策略无论是在人们的日常生活中还是在经济生活中都占据着举足轻重的地位。好的策略是成功的开始。俗话说：“知己知彼，百战不殆”。一个好的策略来源于对环境的充分了解，对一名渡


江选手来说也不例外。因此，要实现成功的渡江，选手首先必须要做的事是：

知己=了解自身的游泳速度，知彼=明确当天比赛时水流的速度+比赛全程。面对着不同的水流速度和比赛路线，并受自身游泳速度大小的限制，选手应及时调整游泳的方向。一个选手要获得最好的成绩就是要在最短时间内恰好到达终点。首先，选手必须根据自身特定的速度，求出游泳区域的宽度与自身游泳速度的比值和水平方向上的距离与水流速度比值。如果前者的比值大于后者，选手只能选择逆游，否则选手将会被水流冲到终点的下游。接着，选手在确定了顺游还是逆游之后，选手的速度越大，选手应越偏离水流方向前进。而且这样的偏离方向必须大于一个特定的值。这个特定值的大小因水流方向上距离的变化而改变，且随着距离的增大这个特定值会减小。

六、模型的评价

本模型全面考虑了游泳者速度和江水流速分布状况对竞渡路线选择的重要意义，针对不同的前提假设建立了对竞渡路线优化选择的模型。结合不同实例，用该模型寻找出相应的优化路线，效果比较理想。并分别找出两次竞渡能够成功到达终点的选手游泳方向的范畴，以这个范畴的差别来解释两次竞渡成功游到终点的人数比例的差别，较为科学。本模型的主要不足在于解决江水流速连续性分布的问题上没有引入更为全面的函数，使得模型具有一定的局限性

七、模型的推广


我们建立模型的方法和思想对其它类似的问题也很适用，本文所建立的模型不但能指导竞渡者在竞渡比赛中如何以最短的时间游到终点，对其它一些水上的竞赛也具有参考意义。例如：皮划艇比赛和飞机降落的分析等问题。此外还能对一些远洋航行的船只的路线规划问题给予指导，使船只能在最短的时间内到达目的地。不仅可解决竞渡路线的优化选择问题，还可推广至多种领域，比如：航海、航天路线的优化选择，枪支火炮弹道的优化选择等等。

八、参考文献

[1] 姜启源 《数学模型》（第三版），高等教育出版社，2003年8月

[2] 《工程数学报》 第20卷 第七期 2003年12月

[3] 赵静，但琦，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2000，43-54

九、附录

求解问题一的matlab程序 %第一问的第一小问

H=1160;L=1000;T=848;v=1.89; u=1/T*((L-v*T)^2+H^2)^(1/2); u

x=180/pi*acos((L/T-v)/u); X

%第一问的第二小问


H=1160;L=1000;u=1.5;v=1.89;

T=(L*v-(u^2*H^2+u^2*L^2-v^2*H^2)^(1/2))/(v^2-u^2);

T

x=180/pi*acos((L/T-v)/u); X

求解问题二的matlab程序 %第二问的第一小问 H=1160;L=1000;v=1.89; T=L/v; T u=H/T; u

%第二问的第二小问

H=1160;L=1000;v=1.89;s=5000; u1=v*H/s; u1

u2=v*H/(H^2+L^2)^(1/2); u2

求解问题三的lingo程序：

min=200/(1.5*@sin(x1))+760/(1.5*@sin(x2))+200/(1.5*@sin(x3));


(200/(1.5*@sin(x1)))*(1.5*@cos(x1)+1.47)+(760/(1.5*@sin(x2)))*(1.5*@cos(x2)+2.11)+(200/(1.5*@sin(x3)))*(1.5*@cos(x3)+1.47)=1000;

x1<3.14;x1>1.57; x2<3.14;x2>1.57; x3<3.14;x3>1.57; end

求解问题四的lingo程序:

min=200/(1.5*@sin(x1))+760/(1.5*@sin(x2))+200/(1.5*@sin(x3));

(200*@cos(x1)+152)/@sin(x1)+(760*@cos(x2)+1.52*760)/@sin(x2)+(200*@cos(x3)+152)/@sin(x3)=1000;

x1<3.14;x1>1.57; x2<3.14;x2>1.57; x3<3.14;x3>1.57; end

本文来源：https://www.wddqxz.cn/80071af825fff705cc1755270722192e4536581f.html