初中数学二次函数知识点总结

2024-01-13 06:52:12 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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初中数学二次函数知识点总结

二次函数是一类形式为y=ax^2+bx+c（a ≠ 0）的函数，其中a、b、c为常数。二次函数的图象是抛物线。

一、二次函数的图象特点及分类

1. 根据二次项系数a的正负情况，二次函数的图象可分为开口向上和开口向下两种情况。

当a>0时，二次函数的图象开口向上，抛物线的顶点在图象的下方。当a<0时，二次函数的图象开口向下，抛物线的顶点在图象的上方。 2. 二次函数的图象关于纵轴对称，也称二次函数的图象有对称轴。

3. 二次函数的图象与x轴相交的点称为二次函数的零点，即方程ax^2+bx+c=0的解。 4. 若二次函数的图象与x轴有且仅有一个公共点，则二次函数的图象在x轴上有且仅有一个切点；若与x轴没有公共点，则二次函数的图象在x轴上无切点。二、二次函数的性质和定理

1. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。 2. 二次函数的最值：

若a>0，二次函数的最小值为f(-b/2a)；若a<0，二次函数的最大值为f(-b/2a)。 4. 二次函数的对称轴方程为x=-b/2a。 5. 二次函数的单调性：

若a>0，则二次函数在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减；若a<0，则二次函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增。 6. 零点判别式：

设二次函数为f(x)=ax^2+bx+c，其判别式为Δ=b^2-4ac。若Δ>0，则方程ax^2+bx+c=0有两个不相等的实数解；

若Δ=0，则方程ax^2+bx+c=0有两个相等的实数解；若Δ<0，则方程ax^2+bx+c=0无实数解。 7. 与坐标轴的交点：

与x轴的交点即为二次函数的零点；与y轴的交点为(0, c)。 2. 确定顶点：

顶点的横坐标为对称轴的x坐标，即x=-b/2a；顶点的纵坐标为代入顶点横坐标所得的函数值，即f(-b/2a)=a(-b/2a)^2+b(-b/2a)+c。 3. 确定开口方向：

根据二次项系数a的正负情况，确定开口的方向。若a>0，开口向上；若a<0，开口向下。 4. 求零点：

设二次函数为f(x)=ax^2+bx+c，可以通过解方程ax^2+bx+c=0来求得零点。 5. 根据图象特点绘制图象：

在对称轴两侧取若干个点，代入函数得到函数值，连接这些点，即可绘制二次函数的图象。

四、二次函数的应用

1. 二次函数的最值可用来解决优化问题，如求最大面积、最短路径等。 2. 二次函数的零点可以用来解决问题，如求方程的根等。

3. 二次函数的图象在现实生活中可用来描述物体的运动轨迹、形状等。