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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题解答
问题1：如图1，设P的坐标为 (x, y)， (x ≥ 0，y ≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为
minf(x,y)kyx2(ay)2(lx)2(by)2
只需考虑1k2的情形（不妨假设ab）。对上述二元费用函数求偏导，令
xlx
fx,y0x2222
lxbyxay
（＊） ayby
fyx,yk0
2222lxbyxay
结合图1，将（＊）式改写为
coscos0
，易知：
sinsink
k4k2
sinsin,coscos
22
所以 tantan
k4k
2
，故经过AP和BP的直线方程分别为：
ya
k4kk4k
22
x ①
yb
xl ②
y
1kl
ab24k2
14k2
ba,联立①、②解方程组得交点xl
2k
因为 x ≥ 0，y ≥ 0，所以 l应满足：
l
4k2
ba 且lk4k2
ba k
4k2
（a）当 l(ba)时，此时交点在y轴上，将x0代入①式，可得P(0,a)，即交
k
点P与A点重合（如图2）。
fmin(ba)2l2ka
4k2
(b) 当(ba)l
k4k2
。(ba)时，交点在梯形内（如图1）
k
)，
l4k21klP(ba),(ab22k24k2
因为 APBP
xlxl2l
，所以模型简化为：
2coscoscos4k
2l4k
2
minf(x,y)ky，
fmin
(c) 当l
1
(ab)k4k2l 2
4k2
。 (ba)时，此时交点在x轴上，即无共用管线的情形（如图3）
k
2
P(
al
,0)，fmin(ab)2l2。 ab
对于共用管道费用与非共用管道费用相同的情形，只需在上式中令k1。
问题2：对于出现城乡差别的复杂情况，模型将做以下变更：
(a) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。根据三家评估公司的资质，用加权平均的方法得出费用的估计值。附加费用采用了三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如表1所示。
表1 三家工程咨询公司估计的附加费用
工程咨询公司 附加费用（万元/千米）
公司一 21
公司二 24
公司三 20
为合理估计附加费用，我们采用对三家公司进行加权求和的方法进行估计。权重的估计采用层次分析法确定。
由于公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质。不同资质的公司信誉会不同，如甲级注册资本不少于600万元人民币；乙级注册资本不少于300万元人民币。则这三家公司的权重会不同，根据经验可设甲级资质公司的重要程度为乙级资质公司重要程度的2倍，而两家乙级资质公司重要程度相同。则构成的成对比较矩阵为：
122
A1/211 1/211
该矩阵最大特征值为3，为一致矩阵，其一致性指标CI=0。则该矩阵任意列向量都可以作为最大特征值对应的特征向量，将任意列向量归一化后作为权重。
3
因此权重向量为 W(0.5,0.25,0.25)。附加费用估计为：
w00.5210.25240.252021.5(万元)。
用MATLAB求最大特征值、权向量和附加费用值，程序如下： A=[1,2,2;1/2,1,1;1/2,1,1]; [V,D]=eig(A); [p,k]=max(eig(A)); v=V(:,k); w=v/sum(v); CI=(p-3)/2; RI=0.58; CR=CI/RI; CR,p,w CR =
0 p =
3 w =
0.5000 0.2500 0.2500
a=[21,24,20]; w0=a*w w0 =
21.5000
4
(b) 假设管线布置在城乡结合处的点为Q，Q到铁路线的距离为z（参见图4）。
图4
模型一：一般情况下，连接炼油厂A和点Q到铁路线的输油管最优布置应取上述问题1(b)的结果，因此管道总费用最省的数学模型一为
1
(az3c)t(bz)2(lc)2 2
21.57.2
其中t表示城乡建设费用的比值（t）。
7.2
ming(z)
求导，令gz
1t(bz)lc
0，得驻点z*b
2222(bz)(lc)4t1
时，g(z)取得最小值
当 z*b
lc4t1
2
g(z*)
1
(ab3c4t21(lc)) 2
或对模型用MATLAB软件进行数值求解。程序如下：
g=inline('0.5*(5+z+3^0.5*15)+(21.5+7.2)/7.2*(5^2+(8-z)^2)^0.5','z'); [z,g]=fminbnd(g,0,15); x=0.5*(15-3^0.5*(z-5)); y=0.5*(5+z-15/(3^0.5)); f=7.2*g; x,y,z,f
x =5.4494
y =1.8538
5
z =7.3678
f =282.6973
结果为 P(5.4494,1.8538),Q(7.3678,0),用LINGO程序求解，程序如下：
model:
a=5;b=8;c=15;l=20; t=(7.2+21.5)/7.2; u=0.5*(a+z+3^0.5*c);
v=t*@sqrt((b-z)^2+(l-c)^2); g=u+v; min=g;
x=0.5*(c-(z-a)*3^0.5); y=0.5*(a+z-c/(3^0.5)); f=7.2*g; end 运行结果：
X 5. 0.
Y 1. 0.E-07 F 282.6973 0.
fmin282.6973。
Z 7. 0.
模型二：如图4，设P点坐标为(x, y)，Q点坐标为 (z, 0)，t表示城乡建设费用的比值，因此管道总费用最省的数学模型二为 minf(x,y,z)其中t
x2(ay)2(cx)2(zy)2yt(lc)2(bz)2
28.7
。 7.2
用LINGO程序求解，程序如下：
model:
a=5;b=8;c=15;l=20; t=28.7/7.2;
f1=@sqrt(x^2+(a-y)^2); f2=@sqrt((c-x)^2+(z-y)^2); f3=y;
f4=t*@sqrt((b-z)^2+(l-c)^2); f=f1+f2+f3+f4; M=7.2*f; min=M; end 运行结果：
X 5. 0.E-08
Y 1. 0.E-08 Z 7. -0.E-08
6
F 39.26352 0. M 282.6973
两种极端情形：当权重取为1:1:1时，P点坐标为(5.4462,1.8556)，Q点坐标为 (15.0000, 7.3715)，最小费用为283.5373万元。当权重取为1:0:0时，P点坐标为(5.4593,1.8481)，Q点坐标为 (15.0000, 7.3564)，最小费用为280.1771万元。
最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于280.1771万元和283.5373万元之间。
问题3： 考虑各部分管道费率不等的情况。
分别用k1,k2,k3,k4记AP、PQ、PH、BQ段管道的费率，并设P和Q点的坐标分别为(x, y)、(c,z) (如图5)，则总费用的表达式为
F(x,y,z)k1x2(ay)2k2(cx)2(zy)2k3yk4(lc)2(bz)2
其中k15.6,
k26.0,k37.2,k46.021.527.5。
图5
用LINGO程序求解，程序如下：
model:
a=5;b=8;c=15;l=20;
k1=5.6;k2=6.0;k3=7.2;k4=27.5; f1=k1*@sqrt(x^2+(a-y)^2); f2=k2*@sqrt((c-x)^2+(z-y)^2); f3=k3*y;
f4=k4*@sqrt((b-z)^2+(l-c)^2); F=f1+f2+f3+f4; min=F;
7
end 运行结果：
X 6. 0.
Y 0. 0. Z 7. 0. F 251.9685 0.
两种极端情形：当权重取为1:1:1时，P点坐标为(6.7310,0.1409)，Q点坐标为 (15.0000,7.2839)，最小费用为252.8104万元。当权重取为1:0:0时，P点坐标为(6.7424,0.1327)，Q点坐标为 (15.0000, 7.2659)，最小费用为249.4422万元。
最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于249.4422万元和252.8104万元之间。
8
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2022-07-14
