2011全国数学竞赛试题及答案

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2011年全国初中数学竞赛试题

考试时间20113209301130满分150

答题时注意:1、用圆珠笔或钢笔作答2、解答书写时不要超过装订线3、草稿纸不上交。 一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分。每道小题的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1、设,则代数式的值为 C

A0 B1 C.-1 D2

2对于任意实数,定义有序实数对与之间的运算为:。如果对于任意实数,都有,那么 B

A B C D

3已知是两个锐角,且满足,,则实数所有可能值的和为 C A B C1 D

4、如图,点分别在△ABC的边ABAC上,BECD相交于点F,设,,则与的大小关系 C

A B.= C D.不能确定

5、设,则4S的整数部分等于 A

A4 B5 C6 D7

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6、两条直角边长分别是整数(其中),斜边长是的直角三角形的个数为31

7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是122334;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是134568。同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为5的概率是____。

8、如图,双曲线与矩形OABC的边CBBA分别交于点EFAFBF,连接EF,则△OEF的面积为_____;

9、⊙的三个不同的内接正三角形将⊙分成的区域的个数为_____。28 10、设四位数满足,则这样的四位数的个数为___。5 三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11、已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1,求的值。 解:设方程的两个根为α、β,其中α、β为整数,且αβ

则方程的两个整数根为α+1、β+1

由根与系数关系得:α+β=a(α+1)(β+1)a 两式相加得:αβ+2α+2β+10(α+2)(β+2)3 ∴或 解得:或

又∵a(α+β)b=αβ,c[(α+1)(β+1)]


a0b1c2a8b15c6 故=3或=29

12、如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙和△BCH的外接圆⊙相交于点D,延长ADCH于点P,求证:点PCH的中点。 证明:如图,延长AP交⊙于点Q

连结AHBDQCQH

AB为直径 ∴∠ADB=∠BDQ900 BQ为⊙的直径 于是CQBCBHHQ

∵点H为△ABC的垂心 AHBCBHAC AHCQACHQ,四边形ACHQ为平行四边形

则点PCH的中点。

13、若从123,中任取5个两两互素的不同的整数,,其中总有一个整数是素数,求的最大值。

解:若n49,取整数122325272,这五个整数是五个两两互素的不同的整数,但没有一

个整数是素数,∴n48,在123,┉┉,48中任取5个两两互素的不同的整数, 若,,都不是素数,则,,中至少有四个数是合数,不妨假设,,为合数, 设,,的最小的素因数分别为p1p2p3p4 由于,,两两互素,∴p1p2p3p4两两不同 pp1p2p3p4中的最大数,则p7 因为,,为合数,所以,,中一定存在一个

ajp27249,与n49矛盾,于是,,中一定有一个是素数 综上所述,正整数n的最大值为48

14、如图△ABC中,∠BAC60°AB2AC。点P在△ABC内,且PA=,PB5PC2,求ABC的面积。

解:如图,作△ABQ,使得:∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP

则△ABQ ACP,由于AB2AC,∴相似比为2 于是,AQ2 AP2BQ2CP4

QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC60° AQAP21知,∠APQ900 于是,PQAP3

BP225BQ 2PQ 2 从而∠BQP900 AMBQM,由∠BQA1200,知 AQM600QM=,AM3,于是, AB2BM 2AM 2 (4) 232288


SABCABACsin600AB 2




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