等比数列1

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即墨市第四中学高三数学导学案

等比数列

编写:江志川审核：万勇编号：2015-10

学习目标

1.理解等比数列的概念；

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式； 3.了解等比数列与指数函数的关系。

课前预习案

基础知识梳理

1.定义：如果一个数列从 起，每一项与它前一项的 等于同一个常数，那么这个

数列就叫做等比数列。数列an为等比数列 （常数） 注意：等比数列中任一项均不为零

2.通项公式： 、 3.等比中项

（1）定义：如果a,G,b成 ，那么G就叫做a与b的等比中项，也就是 （2）注意：就两实数而言，只有 的两数才有等比中项且等比中项有 个，互为相反数

（3）引申：在等比数列a2

n中，①若mn2p，则amanap；

②若mnpq，m,n,p,qN，则amanapaq 4.等比数列的前n项和

Sn



注意：此公式隐含分类讨论，运用等比数列的求和公式时须对公比q1和q1进行讨论 5.证明数列为等比数列的方法

(1)定义法:若 数列an为等比数列 (2)等比中项法:若a

2n1

a

nan2(nN且anan1an20)

基础自测

1.在等比数列an中，a20108a2007，则公比q的值为（） A.2B.3C.4D.8

2.已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（） A.52B.7C.6D.42

3.(2012安徽理)公比为32等比数列{an}的各项都是正数，且a3a1116，则a7（）A.4B.5C.6D.7

4、设s的前n项和，8aS3

n为等比数列{an}2a50则S 2

课堂探究案

例1数列an为等比数列,求下列各值, (1)已知a3a636a4a718a1

n

2

,求n. (2)已知a2a836a3a715,求公比q.

变式1已知等比数列an中，a1a2a37,a1a2a38,求an

例2已知数列a4a

n,Sn是它的前n项和,且Sn1n2(nN),a11 (1)设b2a

nan1n(nN),求证:数列bn是等比数列

a(2)设cn

n2

n

,求证:数列cn是等差数列

变式已知数列an是等比数列，前n项和Snp3n，则常数p等于 例

3.若

an

为各项均为正数的等比数列，且log4a4log4a73，log2a1log2a2log2a10的值为（）

A.10 B.20 C.30





D.40

变式：(2012新课标理)已知an

为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10（） A.7B.5C.-5D.-7

课堂检测：

1.如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（）

（A）b=3,ac=9

(B)b=-3,ac=9(C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9

则


课后巩固案

1.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a3bc10，则a

A．4B．2C．－2D．－4

2.在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9=

A.81B.27527C.3D.243

3.在等比数列an中,a12,前n项和为Sn,若数列an1也是等比数列,则Sn等于： (A)2n12(B)3n(C)2n(D)3n1

4.已知ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值

为_________

5.设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn．若S23a22，

S43a42，则q＝___________．

6.设an的公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5,a3,a4成等差 数列．

（1）求数列an的公比；

（2）证明：对任意kN，Sk2,Sk,Sk1成等差数列．

提高训练

1、在等比数列an中,a12,前n项和为Sn,若数列an1也是等比数列，则Sn等于（） A．2

n1

2 B．3n



C．2n



D．3n

1

2、

4、(2012辽宁理)已知等比数列aa2

n为递增数列，且5a10,2(anan2)5an1，则数列

an的通项公式an=

5、等比数列bn的前n项和为Tn且T33b3，则其公比q=

6、已知an是等比数列，项数n为偶数，它的前n项和Sn是这前n项中偶数项和的4倍， 若前3项的积为64，则数列的前n项和Sn=

7、等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，

则这个等比数列的项数为

8、设数列an的前n项和Sn满足Sn1a2Sna1，其中a20。 （I）求证：an是首项为1的等比数列；

（II）若an

21，求证：Sn2

(a1a2)，并给出等号成立的充要条件。 超越训练

1、设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，则下列等式中恒成立的是（） A、XZ2Y B、YYXZZX C、Y2

XZ



D、YYXXZX

2、在等比数列{an}中，若a7a8a9a10158，a98a98

， 则

1a111 。 7a8a9a10

3、函数yx2

(x0)的图像在点a2k,ak

处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，k为正整

数，a116，则a1a3a5 4、已知数列{an}和{bn}满足：a1,an12

3

ann4,bn(1)n(an3n21),其中 为实数，n为正整数.

（1）对任意实数，证明数列{an}不是等比数列； （2）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；

（3）设0ab,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数，使得对任意正整数n，都 有aSnb?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

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