第25课——对数函数(3)教师版

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第二十五课时 对数函数（3）

学习要求

1.会求一类与对数函数有关的复合函数的定义域、值域和单调性等；

2.能熟练地运用对数函数的性质解题； 3.提高学生分析问题和解决问题的能力。

听课随笔

自学评价

1． 2. 3. 4.

(,13)上是增函数，a的取值范围．

3212

【解】(1)令ux3x2(x)在

24

33

[,)上递增，在(,]上递减， 22

2

又∵x3x20， ∴x2或x1，

2

故ux3x2在(2,)上递增，在(,1)上递减， 又∵y2log1u为减函

3

数，

所以，函数y2log1(x3x2)在(2,)上

3

2

【精典范例】 例1：讨论函数ylg(1x)lg(1x)的奇

偶性与单调性。 【解】由题意可知：

递增，在(,1)上递减． (2)令ug(x)xaxa，

2

1x0

解得：

1x0

∵函数ylog2u为减函数，

∴

ug(x)x2axa在区间

(,13)上递减， 1x1

且满足u0， 定义域为(1,1)

a又Qf(x)lg(1x)lg(1x)f(x)

13∴，解得 f(x)为偶函数 2

f(x)lg(1x)lg(1x)lg(1x)(1x)lg(1x2)g(13)0

x(1,1) 223a2，

证明：在(1,0)是任取1x1x20 所以，a的取值范围为[223,2]．

2

令t1x,x(1,0),则t(0,1) 点评:利用对数函数性质判断函数单调性时，t11x1，t21x2 t1t2

2

(1x12)(1x2) (x2x1)(x1x2) Q1x1x20

x2x10,x1x20t1t20即t1t2

又Qyh(t)lgt在(0,1)上是增函数 lgt1lgt2即f(x1)f(x2)

ylg(1x)lg(1x)在(1,0)上单调

2

2

首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间． 例3：已知x满足

2(log0.5x)27log0.5x30 ，

xx

)(log2)的最值。 24

2(log0.5x)27log0.5x30 【解】由题意：

求函数f(x)(log2

可转化为：(log0.5x3)(2log0.5x1)0，将log0.5x看作整体， 解得：3log0.5x即log0.50.5

3

递增。

同理可证：ylg(1x)lg(1x)在(0,1)

上单调递减。

点评:判断函数奇偶性，必须先求出定义域，单调性的判断在定义域内用定义判断。 例2：(1)求函数y2log1(x23x2)的

3

1， 2

12

log0.5xlog0.50.5，

所以2x8

单调区间．

(2)若函数ylog2(xaxa)在区间

2

xx

f(x)(log2)(log2)

24

(log2x1)(log2x2) (log2x)23log2x2,x[2,8]


令tg(x)log2x，x[2,8]

则t[12

,3]

则yh(t)t2

3t2,t[12

,3]

所以yh(32)1

min4

，ymaxh(3)2



点评:利用函数的单调性求函数最值（或值域）是求函数最值（或值域）的主要方法之一，本题首先要根据条件求出x的取值范围，体现了整体思想方法，然后转化为二次函数，体现了化归的思想方法，换元法的使用是实现化归思想的一种手段，也是化归的一个过程。 追踪训练一

1． 函数ylg(2xx2

)的定义域 是（0，2）,值域是(,0]， 单调增区间是（0，1） 2．求函数

ylog2

1xlog1x5

x[2,4]的最

4

4

小值和最大值。

答案：1。定义域：(0,2) 值域：(,0] 单调增区间：(0,1)

2．最小值23

4

， 最大值7 【选修延伸】

一、对数与方程

例4:若方程lg(ax)lg(ax2

)4的所有解都大于1，求a的取值范围。

分析：由对数函数的性质，方程可变形为关于lgx的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论。

【解】原方程可化为：

(lgxlga)(lga2lgx)4

即 2lg2

x3lgalgxlg2

a40 令tlgx，则方程等价于

2t23lgatlg2a40(*)

若原方程的所有解都大于1，则方程（*）的所有解都大于0，则

3

2lga0

1(lg2

a4)0

解得： 2

(3lga)242(lg2a4)0

0a

1100

思维点拔： （1）有关对数方程解的情况讨论，通常是利用换元法，将方程转化为一元一次或一元二次方程解的讨论；如果是方程解的个数问题，又可以用函数的图象求解，如求方程x2

4|x|5lgx的实根的个数。

（2）换元后必须保证新变量与所替换的量的取值范围的一致性。

追踪训练二

1． 已知方程

lg(x1)lg(3x)lg(ax)

（1）若方程有且只有一个根，求a的取值范围 ． （2）若方程无实数根，求a的取值范围 ．

答案：（1）(1,3]U{134} （2）(,1]U(13

4

,)



学生质疑

教师释疑

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