12大学物理答案

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第十二章 电磁感应及电磁场基本方程

12–16如图12-13所示，长为L的铜棒AB，以距端点a处为支点O，并以角速率顺时针绕通过支点O且垂直于铜棒的轴转动。设磁感应强度B的均匀磁场与轴平行，求棒AB两端的电势差VAB。

解：方法一：如图12-14所示，以支点O为坐标原点，沿棒取Or为坐标轴，在棒上距点O为r处取导体元dr，它的线速度为v，即v=r。由动生电动势公式知

dE(vB)dl=vBdrBrdr

则长为La的OB棒上的电动势为

EOB

0

La

1

Brdr=B(La)2

2

a

图12–13



同理，长为a的OA棒上的电动势为

EOAEAO

0

a

(vB)dl

0

Brdr=Ba2

12

将AB棒的电动势看作是OA棒和OB棒上电动势的代数和，如图12-15所示，则AB棒上的电动势为

111

EABEAOEOBBa2B(La)2BL(L2a)

222因此棒两端的电势差为

图12–14

VABEAB

当L>2a时，B端的电势高于A端的电势。

B

2



L(L2a)

方法二：在棒上距点O为r处取导体元dr，如图12-14所示，则

La

La

A

OO

EAB

a

(vB)dl

a

BrdrBL(L2a)

图12–15

1

2

A

OB

B

因此棒两端的电势差为



VABEAB

B

2

L(L2a)

12–17 如图12-16所示，金属杆AB在导线架上以匀速v向右滑动。已知金属杆AB的长为50cm，v=4.0m/s，R=0.2，磁感应强度B=0.5T，方向垂直回路平面。试求：

（1）作用在金属杆AB上的拉力； （2）拉力做功的功率； （3）电阻R上所消耗的功率。

解：（1）在金属杆AB运动时产生的动生电动势大小为

R

l

v

a

E

方向由ba。

感应电流为

b(vB)dlvBl

b

图2–16

a

I

EvBl



RR

142




磁场作用在AB上的力水平向左，大小为

vB2l24.00.5020.502

N=1.25N FBIl

R0.20

作用在金属杆AB上的拉力F´应与F大小相等，方向相反，即水平向右F´=1.25N。 （2）拉力做功的功率为

PFv1.254W=5.0W

（3）电阻R上所消耗的功率

E2v2B2l2420.5020.502

W=5.0W P

RR0.20

计算表明，拉力所做的功全部转化为电路中的焦耳热。

12–18 如图12-17所示，长直导线中通有电流I=5A，另有一矩形线圈共1000匝，宽a=10cm，长l=20cm，以速度v=2m/s向右平动，（1）求当d=10cm时线圈中的感应电动势；（2）若线圈不动，而长导线中通有交变电流I=5sin100t（A），则线圈内的感应电动势将为多大？

解：（1）方法一：用法拉第电磁感应定律E

A

B

d

计算。 dt

I

l D

C a 图12–17

v

线圈处于非均匀磁场中，当线圈运动到距长直导线x远处时，磁感应强度大小为

B

方向垂直纸面向里。

0I

2πx





d

在线圈中取小面积元dS=ldx，如图12-18中阴影部分，取顺时针方向为矩形线圈回路的正方向，则面积元dS的方向也垂直纸面向里，由于dx足够小，可以近似认为该面积元内的B是均匀的，则该面积元的磁通量d为

I

l A

a

B v

I

dBdS=BdS=0ldx

2πx

通过线圈中的总磁通量为

O

x

D dx

C

x

=



d

x

ax0I

Ilax

ldx0ln

2πx2πx

图12–18



即为x的函数。

由法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势为

EN

d0INladx

 dt2πx(xa)dt

因为x是t的函数，

dx

v，所以线圈中的感应电动势为 dt

E

0INlav

2πx(xa)



由题设，当线圈左边离开导线的距离为x =d=10cm时，

E

0INlav

2πx(xa)



4π1075100020102101022

2π10102(1010210102)

143

=210–3V




由于E>0，所以它的方向为顺时针方向，即ABCDA方向。 方法二：用动生电动势公式Ei利用

l(vB)dl，对矩形线圈的每一边求感应电动势，再

E

L(vB)dLAB(vB)dlBC(vB)dlCD(vB)dlDA(vB)dl

EABEBCECDEDA

进行计算。其等效电路如图12-19所示。

取绕行回路正方向为顺时针方向。对于矩形线圈上、下两边AB、CD，由于(vB)与dl方向垂直，所以

A

B

EABECD

A(vB)dl0 C(vB)dl0

B

D

B

DA BC

D C

矩形线圈处于非均匀磁场中，距长直载流导线x远处的磁感应强度为

0I

2πx

图12–19



其方向垂直纸面向里。

EDAEBC

D

A

(vB1)dl



II

v0dlvl0 02πd2πd

b

B

C

(vB2)dl

0

b

v

0I

2π(da)

dlvl

0I

2π(da)



每匝矩形线圈中的感应电势为

I0II11

EEABEBCECDEDAvl0vlvl0

2πd2π(da)2πdda

22010

2

4π107511

 2222π101010101010

=210–6V

矩形线圈中总的动生电动势为

ENNE10002106V=210–3V

因为EN>0，所以它的方向沿顺时针方向，即ABCDA方向。

（2）若线圈不动，导线中电流变化，则穿过线圈的磁通量变化，产生感应电动势。 通过线圈的磁链为

INld+a

N0ln

2π

d

线圈中总的感应电动势为

E

Nld+adId

0ln

dt2ddt

41071000201021010210102d(5sin100t)

ln 

22dt1010

4.35102cos100tV



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