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一元二次方程的根与系数的关系（一）
（教学案例）
教学内容：一元二次方程的根与系数的关系 教学目标：
知识与技能目标：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 过程与方法目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 情感与态度目标：1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；
2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
教学重、难点：
重点：根与系数的关系及其推导．
难点：正确理解根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系。
教学程序设计： 一、复习引入：
1、写出一元二次方程的一般式和求根公式．
请两位同学写在黑板上，其他同学在纸上默写，交换检查，互相更正。对出错严重之处加以强调。
2、解方程①x2-5x＋6＝0，②-2x2-x+3＝0．
观察、思考两根和、两根积与系数的关系．
提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 观察、思考两根和、两根积与系数的关系． 在教师的引导和点拨下，由学生大胆猜测，得出结论。
二、探究新知
推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．
设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．试计算（1）x1+x2（2）x1*x2 一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．过程略。
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系：
结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么：
bc
x1x2,x1x2
aa
教师举例说明，学生理解记忆。
三、反馈训练应用提高
练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？ （1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0； （3）4x2-7x＋1＝0；（4）-9x＋x2＝0； （5）x2＝9
此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．
根据题目的计算难易选择不同层次的学生回答，对答对的同学给与充分的表扬，对答错者应引导其掌握方法，并多给一次机会，让其得以消化和巩固，同时增强学生自信，提高学习积极性。
反思（1）（2）
导出结论2：如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 注意：结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．
四、一元二次方程根与系数关系的应用：
1、验根．
（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．
（1）x2-6x＋7＝0； （-1，7） （2）-3x2-5x＋2＝0； （5/3，-2/3） （3）x2+9＝6x （3，3）
要求：学生先思考，再举手抢答，调动学习气氛。 注意：①将方程化为标准形式 ②计算准确，公式要用对 2、已知方程一根，求另一根．
例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．
先由学生用自己的办法解答，老师巡视后，请具有代表性的解法的同学将解法板书在黑板上，经点评后，有同学评价各种解法的优劣，学生进行比较，体验方法的优越性，从而认识到根与系数关系的应用价值。
小结：
验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成一般形式，（2）注意符号 3、反馈训练应用提高 练习：
已知方程3x2-7x＋m＝0的根是1，求它的另一根及m的值．
本题培养学生对具体问题的理解能力和分析能力，考查根与系数的关系的灵活运用，在解题过程中，学生可能会出现不同的解法，这时教师应先予以肯定，同时要引导学生比较二者的差异，体现新知的应用价值。
拓展：
已知x1，x2是方程2x2+3x-1＝0的两个根，试求：（1）x12x2＋x1x22， (2) (x1+x2)2．
本题的设计要求知识的迁移能力较强，学生在尝试时定会遇到各种阻碍，这正是教师想要达到的效果，只有产生了疑问，有了矛盾的激发，课堂才会更精彩。此时，教师应带领学生进行分析，引导学生联系所学知识，分析所求与已知间的联系，共同探究解决疑难的办法，说明矛盾产生的原因。
五、小结提高
1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础．
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力．
六、布置作业
1. 已知x1，x2是方程-2x2+5x+6＝0的两个根，则x1+x2= ，x1x2= 。 2．已知方程2x2-7x＋m＝0的根是4，求它的另一根及m的值．
本文来源：https://www.wddqxz.cn/7ae0b5a9ab00b52acfc789eb172ded630b1c98cc.html
2022-03-23
