统考版2022届高考数学一轮复习第七章7.6直接证明与间接证明课时作业理含解析

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高考复习资料

课时作业38 直接证明与间接证明

[基础达标]

一、选择题

1．要证明3＋5<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )



A．综合法B．题目考点分析法 C．比较法D．归纳法 2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )

A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除

111

3．设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )

yzx

A．至少有一个不大于2B．都小于2 C．至少有一个不小于2D．都大于2

4．若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋8＋a＋5(a≥0)，则P，Q的大小关系是( ) A．P>QB．P＝Q

C．P<QD．由a的取值确定 5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )

A．恒为负值B．恒等于零 C．恒为正值D．无法确定正负 二、填空题

6．如果aa＋bb>ab＋ba，则a，b应满足的条件是________． 7．若向量a＝(x＋1,2)，b＝(4，－2)，若a∥b，则实数x＝________. 8．[2021·太原模拟]用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________________．

三、解答题

9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.求证：a，b，c成等差数列．



ab

10．已知a，b是正实数，求证：＋≥a＋b.

ba



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[能力挑战]

πππ

11．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c

236

中至少有一个大于0.



课时作业38

1．题目解析：要证明3＋5<4，只需证明(3＋5)2<16，即8＋215<16，即证明15<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用题目考点分析法证明较为合理，故选B. 参考答案：B

2．题目解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”． 参考答案：B

1111

x＋3．题目解析：假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝yzxx

11

y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，与a＋b＋c<6矛盾， ＋yz

∴a，b，c都小于2错误．

∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.故选C项． 参考答案：C

4．题目解析：假设P>Q，要证P>Q，只需证P2>Q2，只需证： 2a＋13＋2

a＋6a＋7>2a＋13＋2

a＋8a＋5，只需证a2＋13a＋42>a2＋13a＋40，

只需证42>40，因为42>40成立，所以P>Q成立．

参考答案：A

5．题目解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.

参考答案：A

6．题目解析：aa＋bb>ab＋ba，即(a－b)2(a＋b)>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.

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高考复习资料

参考答案：a≥0，b≥0且a≠b 7．题目解析：因为a∥b， 所以(x＋1)×(－2)＝2×4， 解得x＝－5. 参考答案：－5

8．题目解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”． 参考答案：x≠－1且x≠1

9．证明：由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B， 因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，

由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列． 10．证明：证法一 (作差法)因为a，b是正实数，所以a－ba－b



ab

a－b2a＋b＝≥0，

abab

所以＋≥a＋b.

ba＝

证法二 (题目考点分析法)已知a，b是正实数， ab

要证＋≥a＋b，

ba

只需证aa＋bb≥ab(a＋b)，

即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)， 即证a＋b－ab≥ab， 就是要证a＋b≥2ab.

ab

显然a＋b≥2ab恒成立，所以＋≥a＋b.

ba证法三 (综合法)因为a，b是正实数，

ab·b＋2·a＝2a＋2b， baab

当且仅当a＝b时取等号，所以＋≥a＋b.

ba所以

证法四 (综合法)因为a，b是正实数，

abaabb

＋(a＋b)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2baba

＋b)2，

当且仅当a＝b时取等号，

ab

所以＋≥a＋b.

ba

所以

11．证明：假设a，b，c都不大于0， 即a≤0，b≤0，c≤0， 所以a＋b＋c≤0. 而a＋b＋c

πππx2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋ ＝236

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aabb

·＝a＋b＋2ab＝(aba

ab

＋b＋＋a≥2ba

b－aa－bab

＋－a－b＝＋ baab

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