2022年高考数学二轮复习：隐零点问题

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2022年高考数学二轮复习：隐零点问题

导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题． 例 已知函数f(x)＝aex＋sin x＋x，x∈[0，π]． (1)证明：当a＝－1时，函数f(x)有唯一的极大值点； (2)当－2<a<0时，证明：f(x)<π.

证明 (1)当a＝－1时，f(x)＝x＋sin x－ex，f′(x)＝1＋cos x－ex， 因为x∈[0，π]，所以1＋cos x≥0，

令g(x)＝1＋cos x－ex，g′(x)＝－ex－sin x<0， 所以g(x)在区间[0，π]上单调递减． 因为g(0)＝2－1＝1>0，g(π)＝－eπ<0， 所以存在x0∈(0，π)，使得f′(x0)＝0， 且当0<x<x0时，f′(x)>0； 当x0<x<π时，f′(x)<0.

所以函数f(x)的单调递增区间是[0，x0]，单调递减区间是[x0，π]． 所以函数f(x)存在唯一的极大值点x0.

(2)当－2<a<0时，令h(x)＝aex＋sin x＋x－π， 则h′(x)＝aex＋cos x＋1， 令k(x)＝aex＋cos x＋1， 则k′(x)＝aex－sin x<0，

所以函数h′(x)在区间[0，π]上单调递减， 因为h′(0)＝a＋2>0，h′(π)＝aeπ<0， 所以存在t∈(0，π)，使得h′(t)＝0， 即aet＋cos t＋1＝0，

且当0<x<t时，h′(x)>0；当t<x<π时，h′(x)<0.

所以函数h(x)在区间[0，t]上单调递增，在区间[t，π]上单调递减． h(x)max＝h(t)＝aet＋sin t＋t－π，t∈(0，π)，

因为aet＋cos t＋1＝0，只需证φ(t)＝sin t－cos t＋t－1－π<0即可， φ′(t)＝cos t＋sin t＋1＝sin t＋(1＋cos t)>0，

所以函数φ(t)在区间(0，π)上单调递增，φ(t)<φ(π)＝0，即f(x)<π.

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