三角形内外角平分线定理

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三角形内外角理

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分线定

平
三角形内角与外交平分线定理

一、内角平分线定理

已知：如图所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC;

思路1：过C作角平分线AD的平行线。

证明1：过C作CE∥DA与BA的延长线交于E。 则： BA/AE=BD/DC;

∵ ∠BAD=∠AEC；（两线平行，同位角相等） ∠CAD=∠ACE；（两线平行，内错角相等） ∠BAD=∠CAD；（已知） ∴ ∠AEC=∠ACE；（等量代换） ∴ AE=AC；

∴ BA/AC=BD/DC 。

结论1：该证法具有普遍的意义。

引出三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。 在ABC中，若AD为BAC的 ABBD

平分线，则：

ACCD



思路2：利用面积法来证明。

已知：如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC

证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F； ∵ ∠BAD=∠CAD；（已知） ∴ DE=DF；

∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC； （等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比） ∴ BA/AC=BD/DC

结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法。

二、外角平分线定理

已知：如图所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC

思路1：作角平分线AD的平行线。

证明1：过C作CE∥DA与BA交于E。则： BA/AE=BD/DC

∵ ∠DAF=∠CEA；（两线平行，同位角相等）

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