向量公式大全

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向量公式

设 a=(x， y)，b=(x' ，y') 。 1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则 AB+BC=AC。

a+b=(x+x' ， y+y') 。 a+0=0+a=a 。

向量加法的运算律： 交换律： a+b=b+a；

结合律： (a+b)+c=a+(b+c) 。 2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b , b=-a , a+b=O. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量

实数入和向量a的乘积是一个向量，记作入a,且I入al =1X1 ? I al。 当入〉0时，入a与a同方向； 当XV 0时，入a与a反方向； 当入=0时，X a=0,方向任意。

当a=0时，对于任意实数X,都有X a=0。

注：按定义知，如果X a=0，那么X =0或a=0。

实数X叫做向量a的系数，乘数向量X a的几何意义就是将表示向量 a的有向 线段伸长或压缩。

当IXI> 1时，表示向量a的有向线段在原方向(X> 0)或反方向(XV 0) 上伸长为原来的IXI倍；

当IXIV 1时，表示向量a的有向线段在原方向(X> 0)或反方向(XV 0) 上缩短为原来的IXI倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律： (Xa)?b=X(a?b)=(a?Xb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(X +卩)a= X a+卩a. 数对于向量的分配律(第二分配律) ：X (a+b)= X a+X b.

数乘向量的消去律：① 如果实数入工0且X a=X b，那么a=b。②如果a^0 .且 X a=(1 a，那么 X =卩。 3、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量 a,b。作OA=a,OB=b则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0W〈 a,b〉Wn


定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作 a?b。若a、b不 共线，贝U a?b=|a| ?|b| ?cos〈a，b〉；若 a、b共线，则 a?b=+- I all bl。 向量的数量积的坐标表示： a?b=x?x'+y ?y' 。 向量的数量积的运算律 a ?b=b?a (交换律)；

(入a) ?b= X (a?b)(关于数乘法的结合律)； (a+b)?c=a?c+b?c (分配律)； 向量的数量积的性质 a ?a=|a| 的平方。 a _L b 〈=〉a?b=0o |a ?b| < |a| ?|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、 向量的数量积不满足结合律，即： (a?b)?cM a?(b ?c);例如：(a ?b)A2工 aA2?bA2o

2、 向量的数量积不满足消去律，即：由 a?b=a?c (a工0)，推不出b=c。 3、 |a?b| 工 |a| ?|b|

4 、由 |a|=|b| ，推不出 a=b 或 a=-b。 4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作 ax b。若 a、b 不共线，则 ax b 的模是：I a x b I =|a| ?|b| ?sin〈a，b> ； ax b 的方向是： 垂直于a和b，且a、b和ax b按这个次序构成右手系。若 a、b共线，则ax b=0。 向量的向量积性质：

I ax b I是以a和b为边的平行四边形面积。 a x a=0。

a II b < => ax b=0o 向量的向量积运算律 a x b=-bx a；

(X a)x b=X( ax b) =ax(X b)； ( a+b)x c=ax c+bx c.

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD是没有意义的。 向量的三角形不等式

1、 II a I - I b IIa+b I a I + I b I； ① 当且仅当 a、 b 反向时，左边取等号； ② 当且仅当 a、 b 同向时，右边取等号。 2、 II a I - I b IIa-b I a I + I b I。

① 当且仅当 a、 b 同向时，左边取等号； ② 当且仅当 a、 b 反向时，右边取等号。 定比分点

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