证切线记住口诀

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记住口诀证切线

学习了直线与圆的位置关系，经常遇到判断一条直线是圆的切线的题目,那么如何判断一条直线是圆的切线呢？记住下列口诀，问题便迎刃而解了。

口诀一、见半径，证垂直

已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接根据“经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明.

例1、如图1，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且DBAC.求证：AD是半圆O的切线.

分析：要证明AD是⊙O的切线，因为AB是⊙O的直径，所以只要证明AB⊥AD即可.

证明：∵AB是半圆O的直径，

∴C90，∵OD∥BC，∴AEOC90, ∴DOABAC90，∵DBAC,

∴DOAD90，∴ADOA，∴AD是半圆O的切线. 口诀二、连半径，证垂直

条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连结公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，

例2、如图2，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．求证：直线DE是⊙O的切线．

分析：由已知条件可知点D在⊙O上，因此要证DE是⊙O的切线，只需连结OD，看OD与DE是否垂直即可.

证明：如图，连结OD、BD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°, ∴BD⊥AC, ∵AB=BC，∴AD=DC，∵OA=OB，∴OD∥BC, ∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线. 口诀三、作垂直，证半径

图2

B

C

EO

AD

图1

C

D

F

A

O

B

E

已知条件若没有给出了直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后根据“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，

例3、如图3，两个同心圆，弦AB、CD相等，AB切小圆于点E，那么CD是小圆的切线

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吗？为什么？

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分析：已知条件中没有告诉直线CD与小圆O有公共点，由圆心O 向直线CD作垂直OF，若能证明OF与半径OE相等，则可说明CD是小圆的切线.

解：CD是小圆的切线.理由如下：

连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为点F，因为AB切小圆于点E，所以OE⊥AB，在大圆中，因为AB=CD，所以OF=OE，所以CD是小圆的切线.

ACEB

FO

D



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